A função Gama de Euler unifica diferentes áreas da Matemática

A função especial chamada Função Gama de Euler


Existem expressões matemáticas em que se vislumbra a unidade da matemática.
Uma delas é\[e^{\pi \, i } = -1\]onde a Análise e o Cálculo se fazem representar com a função exponencial, a Geometria Grega se faz representar com $\pi$, a Álgebra dos árabes e do Renascimento com $i = \sqrt{-1}$ e a Aritmética dos povos mais antigos com o negativo $-1$.
A chamada Função Gama Euler $\Gamma(x)$ é outro exemplo da unidade da Matemática. Ela é inicialmente definida através de uma integral imprópria. Mas tem propriedades que mostram como Cálculo, Aritmética e Geometria fazem parte de um todo único, por exemplo:
Afirmação:
Se $x = n\in \mathbb{N}$ então $\Gamma(n+1) = n !$ (o Fatorial).
Se $x= \frac{1}{2}$ então $\Gamma (\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$.

Essas duas propriedades notáveis serão justificadas ao longo desta Seção.
A Interação plota o gráfico de $\Gamma(x)$ (com assíntotas verticais) e consegue calcular seu valor exato em diversos pontos relevantes:

Ao longo da Seção explicaremos como se forma esse gráfico, a partir de definição, como uma integral na semireta $x\in (0 , +\infty)$, e fazendo estensões à semireta negativa $x\in (-\infty, 0)$ (excluidos pontos $x\in \mathbb{Z}$).