Modelagem do movimento sem atrito de uma membrana retangular

Equação Parcial da Onda e Vibração de Membranas Retangulares



Nesta Seção consideraremos as vibrações de membranas com um formato que não é usual: retangular.

Esta Seção pode ser lida como uma continuação natural da Seção Equação da onda e vibração de cordas (sem atrito e sem peso).
Já o caso dos tambores circulares é mais técnico, será estudado e implementado na Seção Equação da onda bidimensional e modos de vibração com simetria radial para tambores circulares.
Então de agora em diante supomos que a membrana retangular seja feita de material elástico e homogêneo (de densidade constante).
Para simplificar o problema vamos supôr que o deslocamento de cada ponto $(x,y)$ da membrana no instante $t$ seja apenas vertical, dado pela função altura \[z= z(x,y,t) \]
Supomos que o bordo da membrana permanecerá fixo na estrutura do tambor retangular de medidas
\[x\in [0,a]\quad \mbox{e}\quad y \in [0,b],\]
e isso produz as chamadas condições de fronteira
\[z(0,y,t) = z(a,y,t) = z(x,0,t) = z(x,b,t) = 0,\quad \forall t \]
(para todo $t$). A posição inicial e a velocidade inicial da membrana são dados por
\[f(x,y) = z(x,y,0) \quad \mbox{e}\quad g(x,y) = \frac{\partial z(x,y,0) }{\partial t } \]
O modelo matemático para a vibração é dado por:
Afirmação 1 (Equação da onda bidimensional): Se $\rho$ é a densidade (constante) da membrana e $T$ é a tensão aplicada à membrana, o movimento sem atrito da membrana é modelado pela equação diferencial (parcial, linear e homogênea)\[\frac{\partial^2 z }{\partial t^2 } = k^2 \cdot ( \frac{\partial^2 z }{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 z }{\partial y^2 }),\quad \mbox{para}\quad k^2 = \frac{T}{\rho}\]


Nos próximos parágrafos vamos resolver o
Problema (Vibrações com condições de fronteira e condições iniciais):
\[ \begin{cases} \frac{\partial^2 z }{\partial t^2 } = k^2 \cdot ( \frac{\partial^2 z }{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 z }{\partial y^2 }),\quad k^2 = \frac{T}{\rho}\\ z(0,y,t) = z(a,y,t) = z(x,0,t) = z(x,b,t) = 0,\quad \forall t \\ f(x,y) = z(x,y,0) \quad \mbox{e}\quad g(x,y) = \frac{\partial z(x,y,0) }{\partial t }\end{cases} \]

Expressaremos a solução geral desse Problema como superposição de movimentos simples, chamados de modos normais de vibração.
Interações mostrarão as superfícies que correspondem aos modos normais de vibração.
E também a posição que a membrana assume a cada instante, ao se movimentar a partir de dados iniciais.