Mudanças de coordenadas que captam simetrias

Equação de Laplace e Problema de Dirichlet em coordenadas polares



As mudanças de variáveis são cruciais na Teoria das Equações Diferenciais.

Já demos exemplos disso em $1$ variável, por exemplo, no estudo das equações ordinárias da Seção Equações diferenciais homogêneas (de grau zero) no Curso Equações Diferenciais.
Agora vamos tratar da situação em $2$ variáveis, em que:
Se faz necessário passar do sistema de coordenadas cartesiano para o sistema de coordenadas polares. Faremos isso para resolver equações diferenciais parciais definidas em domínios com simetria radial (discos, anéis, setores circulares, etc).

Nos concentraremos nesta Seção na equação de Laplace e nos problemas de Dirichlet no sistema de coordenadas polares.
Veremos que a expressão do Laplaciano se complica bastante. Mesmo assim, veremos que será uma boa idéia passar para o sistema polar.

Interações desta Seção calcularão o Laplaciano polar. E Interações mostrarão superfícies com Laplacianos nulos sobre um disco se aproximando gradualmente de gráficos definidos no círculo.