A Equação Diferencial de Airy

Equação diferencial e funções de Airy


A equação linear de segunda ordem conhecida como equação de Airy (de G.B. Airy) é
\[ y^{\prime\prime}(x) - x \cdot y(x) = 0 \]

Suas soluções são séries de potências \[y = \sum_{i=0}^{+\infty} a_i \cdot x^{i},\] convergentes $\forall x\in \mathbb{R}$, como é justificado na Seção Pontos regulares de equações diferenciais e soluções por séries de potências.
Nesta Seção buscaremos determinar os coeficientes $a_i$ das soluções em séries.Esses coeficientes serão obtidos por uma fórmula de recorrência : sabendo os primeiros, obtêm-se os próximos e assim sucessivamente.

A fórmula de recorrência aparecerá como parte da Prova da afirmação a seguir:
Afirmação: A solução geral da equação de Airy pode ser expressa como combinação de séries de potências da forma:
\[\small{y(x) = a_0\cdot (1+ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{ x^{3k} }{ (2\cdot 3)(5\cdot 6) \ldots ((3k-1)(3k)) } ) +}\]
\[{\small + a_1\cdot (1 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{3k+1} }{(3\cdot 4)(6\cdot 7) \ldots ((3k)(3k+1)) })}\]

No próximos parágrafo daremos a prova detalhada. Depois teremos Interações para truncamentos das séries soluções e explicaremos quando as séries recebem a denominação clássica de funções $\mbox{Ai}(x)$ e $\mbox{Bi}(x)$.

Expressaremos as soluções da Equação de Airy através de funções de Bessel na Seção Equação diferencial e funções de Bessel.