Os princípios básicos da difusão do calor

Equação da Difusão do Calor e Problemas de Esfriamento


O modelo matemático mais simples para descrever o esfriamento de um objeto foi dado na Seção Equação diferencial da lei de esfriamento de Newton do Curso Equações Diferenciais.
Na Lei de Esfriamento de Newton há grandes simplificações. Uma delas é que considera que todos os pontos do objeto têm a mesma temperatura $T(t)$. Ou seja, como se o objeto fosse um ponto.
O princípio básico de Newton é de que a variação $T^{\prime}(t)$ da temperatura $T(t)$ do objeto é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente, em cada instante $t$.

Nesta Seção, com a possibilidade de usarmos equações diferenciais parciais, poderemos obter modelos matemáticos mais completos para a evolução da temperatura em objetos de dimensão $1$ (e, mais adiante, de dimensões $2$ ou $3$).
Vamos tratar da situação mais realista depende de cada ponto do objeto.

O princípio básico que vai nos guiar é dado por uma lei experimental:
Afirmação: (Lei Experimental de Fourier) Considere dois discos paralelos $S_1,S_2$, de mesma área $A$ e feitos do mesmo material, colocados a uma distância $d$ e estando $S_1$ à esquerda de $S_2$. Então a taxa de transmissão de calor entre os discos é diretamente proporcional ao produto da área $A$ pela diferença de temperatura e é inversamente proporcional à distância $d$. Ou seja, a taxa de transmissão verifica \[- k\cdot A\cdot \frac{(T_2 - T_1)}{d}\]
onde a constante $k>0$ depende do material dos discos, $T_1$ temperatura de $S_1$ e $T_2$ temperatura de $S_2$.

Nos próximos parágrafos vamos estabeler uma equação diferencial para a difusão do calor e resolver os primeiros problemas de esfriamento de objetos unidimensionais.
Interações mostrarão a evolução temporal dos gráficos de temperatura do objeto.