Modelagem da vibração de cordas por equação diferencial parcial

Equação da onda e vibração de cordas (sem atrito e sem peso)



Nesta Seção vamos analisar o movimento ou vibração de uma corda esticada, de comprimento $L$, posta ao longo do eixo dos $x$ e fixada nos extremos \[x_0= 0\quad \mbox{e}\quad x_1=L\]

Para começar, vamos fazer certas suposições simplificadoras. Apesar de nos afastarem da situação mais realista, tornam a matemática do problema mais acessível.
Vamos supôr no que segue que não há atrito e que a corda têm um peso desprezível.

Também podemos supôr que cada ponto da corda se deslocará somente na direção vertical. A função \[y=y(x,t)\] dará o deslocamento vertical de $x\in [0,L]$ no instante $t$.
É natural que no movimento da corda interfiram a tensão $T$ a que está submetida e a densidade $\rho$ da corda (supostas constantes).
Basta manusear um instrumento de cordas, como um violão, para se notar que as cordas têm diferentes espessuras (densidades) e que a possibilidade de mudar a tensão de cada corda afeta o som produzido.
A afirmação a seguir dá a equação que rege o movimento da corda:
Afirmação 1 (Equação da onda unidimensional): Se a amplitude do movimento for pequena e se o movimento não tiver atrito, então o deslocamento vertical $y(x,t)$ satisfaz
\[ \frac{ \partial^2 y}{\partial t^2 } = k^2 \cdot \frac{ \partial^2 y}{\partial x^2 }, \quad\mbox{onde}\quad k^2 = \frac{T}{\rho}\]


A Afirmação a seguir diz que o formato inicial e a velocidade inicial da corda determinam completamente seu movimento:
Afirmação 2 (Movimento da corda, sem atrito, com extremos fixos): Seja a corda $[0,L]$ com densidade $\rho$, com extremos fixos $x_0= 0$ e $x_1=L$, submetida a tensão $T$. Se o formato inicial da corda e a velocidade inicial da corda são
\[y(x, 0) = f(x) \quad \mbox{e}\quad \frac{ \partial y(x,0)}{\partial t } = g(x),\]
e se não houver atrito, então o deslocamento vertical $y(x,t)$ da corda é dado por
\[y(x,t):= \sum_{n=1}^{+\infty} \sin(\frac{ n \pi}{ L } \cdot x)\cdot[ a_n \cdot \cos( \frac{ n \pi}{ L } k t) + b_n \cdot \sin(\frac{ n \pi}{ L }
k t) ],\]
onde
\[\begin{cases}a_n = \frac{2}{L } \cdot \int_{ 0}^{L} \,f(x)\cdot \sin( \frac{n \pi}{L}\cdot x )\, dx\\
b_n = \frac{2}{n \cdot k \cdot \pi} \cdot \int_{ 0}^{L} \,g(x)\cdot \sin( \frac{n \pi}{L}\cdot x )\, dx \end{cases} \]

No próximo parágrafo vamos justificar essa Afirmação, através do chamado método de separação de variáveis e do uso de Séries de Fourier.
Interações permitirão ver o gráfico da posição da corda em cada instante. E animações mostrarão o movimento da cordas.

A modelagem de uma situação mais realista, levando em conta o peso da corda e atrito, será vista ma Seção Vibração com atrito de cordas pesadas do Curso Complementos ao Curso de Equações Diferenciais.