Modelagem do movimento da membrana de um tambor circular

Equação da onda bidimensional e modos de vibração com simetria radial para tambores circulares



Considere um tambor com membrana circular de raio $a >0$, feita de um material elástico e homogêneo (de densidade constante). Queremos descrever matematicamente seus padrões de vibração, na ausência de atrito.

Para simplificar o problema vamos supôr que o deslocamento de cada ponto $(x,y)$ da membrana no instante $t$ seja apenas vertical, dado pela função altura \[z= z(x,y,t)\]
E ainda que vamos supôr que:
A função $z(x,y,t)$ tenha simetria radial, ou seja, possa ser reescrita como
\[z(r,t),\quad \mbox{onde}\, r = \sqrt{x^2+y^2}\]

Mudando a unidade de medida, podemos supor que o raio do tambor seja $a=1$. Como o bordo circular da membrana permanece fixo na estrutura do tambor, temos a chamada

Condição de fronteira\[z(1 , t) \equiv 0,\quad \forall t\]

A modelagem matemática do problema é dada por:
Afirmação (Equação da onda): Se $\rho$ é a densidade (constante) da membrana e $T$ é a tensão aplicada à membrana, o movimento sem atrito da membrana é modelado pela equação diferencial (parcial, linear e homogênea)
\[{\small \frac{\partial^2 z }{\partial t^2 } = k^2 \cdot ( \frac{\partial^2 z }{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 z }{\partial y^2 }),\quad \mbox{para}\quad k^2 = \frac{T}{\rho}}\]


Acrescentamos:
Condições iniciais: No instante inicial $t=0$ temos
\[ z(r, 0 ) = f(r) \quad \mbox{e}\quad \frac{\partial z}{\partial t}(r, 0) = g(r) \]
como posição e velocidade da membrana.

Nesta Seção vamos resolver:
Problema (de Vibração de uma Membrana Circular com simetria radial):
\[ \begin{cases} \frac{\partial^2 z }{\partial t^2 } = k^2 \cdot ( \frac{\partial^2 z }{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 z }{\partial y^2 }) \\ z( 1 , t) = 0, \quad \forall t \\ z(r, 0 ) = f(r) \quad \mbox{e}\quad \frac{\partial z}{\partial t}(r, 0) = g(r) \end{cases} \]

Depois vamos implementar o resultado em Interações, que gerarão gráficos e animações do movimento da membranas circulares.

Se houver interesse no caso mais geral, em que não se supõe a simetria radial, veja a Seção Equação da onda bidimensional e modos gerais de vibração de tambores circulares do Curso Complmentos às Equações Diferenciais.