Sobre Equação de Laplace e Problema de Dirichlet

Equação de Laplace e problemas de Dirichlet


Nesta Seção vamos tratar de uma equação diferencial parcial fundamental, chamada de Equação de Laplace.
Essa equação aparece em diferentes contextos da Física-Matemática, dos quais destacaremos a distibuição estacionária de temperatura e o potencial gravitacional espacial.
Veremos que é bastante especial a geometria das superfícies $z= f(x,y)$ soluções da equação de Laplace.

E que mesmo assim é possível impôr que essas superfícies se "encaixem" em gráficos dados de antemão.
Essa é a idéia dos chamados Problemas de Dirichlet: se exige que a superfície satisfaça a equação de Laplace no interior de uma região $U\subset \mathbb{R}^2$ e que ainda coincida com gráficos definidos sobre a curva-fronteira de $U$
Resolveremos detalhadamente dois Problemas de Dirichlet sobre retângulo $U$ e teremos Interações para ver o ajuste da superf[icie aos gráficos dados.