Equação diferencial de Cauchy-Euler

Equação diferencial de Cauchy-Euler


As Equações de Cauchy-Euler (ou simplesmente de Euler) em referência a A. Cauchy e L. Euler são equações do tipo:
\[ x^2 \cdot y^{\prime\prime} + p\cdot x \cdot y^{\prime} + q\cdot y = 0,\quad p,q \in \mathbb{R} \]

Veremos nesta Seção que é possível resolvê-las completamente, para quaisquer escolhas $p,q \in \mathbb{R}$.

Esse tipo de equação aparece em importantes problemas da Física-Matemática.
Por exemplo, quando tratarmos de problemas de Dirichlet em coordenadas polares na Seção Equação de Laplace e Problema de Dirichlet em coordenadas polares (onde a variável $x$ será substituida por $r$, o raio de discos).
O motivo da facilidade em resolver a equação de Cauchy-Euler é o seguinte:
Afirmação: Após uma mudança de variável, transformam-se em equações diferenciais lineares de segunda ordem a coeficientes constantes.

Ou seja, como aquelas equações da Seção Equações homogêneas de segunda ordem a coeficientes constantes, problemas de valor inicial e fronteira.

Também podemos adiantar que a equação de Cauchy-Euler é um protótipo das equações diferenciais com pontos singulares-regulares - Seção Pontos singulares de equações diferenciais e soluções por séries de Frobenius.