Tipos de soluções das Equações de Bessel

Equação diferencial e funções de Bessel


Apresentamos uma equação diferencial especialmente importante como uma definição:
Definição (Equação de Bessel): Para cada $p\in \mathbb{R}$ fixado, a equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea \[x^2\cdot y^{\prime\prime} + x\cdot y^{\prime} + (x^2 - p^2)\cdot y = 0\] é chamada de Equação de Bessel.

Justificaremos como F.W. Bessel chegou nesse formato especial de equação diferencial na Seção Derivada de Integrais em relação a um Parâmetro (Fórmulas de Leibniz) do Curso de Cálculo Vetorial Integral e Aplicações.

Começamos agora o estudo da equação de Bessel, anunciando que:
Para valores gerais de $p\in \mathbb{R}$, as soluções dessa equação não são funções conhecidas do Cálculo, ou seja, não se reduzem a funções racionais, trigonométricas, exponenciais, logaritmos e suas composições.

Justificaremos no próximo parágrafo que, quando \[p =\frac{1}{2}\quad \mbox{ou}\quad p = -\frac{1}{2},\] essa equação tem soluções que são funções conhecidas:
\[ y_1(x) = \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}\quad \mbox{e}\quad y_2(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} \]
No exemplo default da Interação a seguir, obtemos essas soluções elementares ($k_1,k_2$ são constantes).

Porém, se o valor de $p$ for mudado, por exemplo para $p=3$, aparecerão as chamadas funções de Bessel de primeira e segunda espécies $J_p(x)$ e $Y_p(x)$, que estudaremos nos próximos parágrafos.

Observe no exemplo anterior que \[\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}\quad\mbox{e}\quad \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}}\] anulam-se infinitas vezes na semireta $x >0$ e que há uma diferença de comportamento próximo à origem: \[\lim_{x\to 0+} \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}} = 0 \quad \mbox{e }\quad \lim_{x\to 0+} \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} = +\infty\]Essas serão duas características das soluções $J_p(x)$ e $Y_p(x)$ da Equação de Bessel: ambas têm uma infinidade de raízes, mas uma é limitada em $x=0$ enquanto a outra é ilimitada.
A Interação a seguir dá os gráficos dessas duas funções:

Ao longo da Seção veremos como combinações das funções de Bessel aparecem como soluções de diferentes equações diferenciais. E também veremos, na Teoria de Fourier-Bessel, como elas servem para aproximar funções variadas, da mesma forma como combinações de senos e cossenos aproximam funções na Teoria de Fourier.

As Interações implementarão essas propriedades das funções de Bessel.