A intuição de Fourier

Introdução às Séries de Fourier



Questão: O que distingue a nota Lá do diapasão, da nota Lá da flauta ou do clarinete ? O que produz os diferentes timbres dos instrumentos ?

A combinação adequada de elementos simples é que gera o efeito sofisticado ou complexo.
As idéias básicas da teoria que Fourier iniciou são:
Análise: Decompôr uma cor, som ou onda complexos, em cores, sons ou ondas simples.
Síntese: Produzir uma cor, um som ou uma onda complexos, a partir de cores, sons ou ondas simples.

As ondas simples serão as ondas senoidais:
\[\cos(n x),\quad \sin(n x),\quad n\in \mathbb{N}\]
As descobertas iniciais de J.B.J. Fourier no início do século $\mbox{XIX}$ passaram por etapas de consolidação ao longo daquele século, depois tiveram grandes avanços teóricos e computacionais no século $XX$ e hoje têm inúmeras aplicações.
Vamos fazer nesta Seção apenas uma introdução ao tema: veremos o básico para podermos aplicar essas idéias na última etapa de resolução de equações diferenciais lineares parciais - pelo chamado método de separação de variáveis.
No Curso Introdução à Análise de Fourier veremos estensões dessa teoria e variadas aplicações.

Neste Curso, generalizações das séries de Fourier aparecem na Seção Equação diferencial dos polinômios de Legendre e expansão de Fourier-Legendre e Seção Equação diferencial e funções de Bessel.