Polinômios que são soluções de Equações diferenciais

Equação diferencial dos polinômios de Legendre e expansão de Fourier-Legendre


Os polinômios de Legendre (de A.M. Legendre) têm diversas aplicações, por exemplo, na Física-Matemática e na teoria de Integração Numérica.
Nesta Seção os usaremos para obter expansões em série infinita do potencial gravitacional.
Os polinômios de Legendre têm uma forma fechada, chamada de Fórmula de Rodrigues. Mas aqui vamos introduzi-los como soluções de equações diferenciais lineares de segunda ordem.
Definição: As equações de Legendre são as equações diferenciais lineares de segunda ordem:
\[(1- x^2) \cdot y''(x) - 2 x\cdot y'(x) + p\cdot (p+1) \cdot y(x) = 0\]
onde $ -1 < x < 1$ e $p=0$ ou $p\in \mathbb{N}$.

Observação: É importante que os coeficientes de $y$ nessas equações de Legendre sejam exatamente da forma
\[p\cdot (p+1),\quad p = 0,1,2,\ldots\]Por exemplo, $0, 2, 6, 12,\ldots $ podem figurar como coeficientes de $y$ nas equações de Legendre. A importância da forma ser essa aparecerá daqui a pouco, quando determinarmos as soluções das equações.

Também será útil observar que as equações de Legendre podem ser re-escritas de dois outros modos:
Afirmação (Outras expressões para as Equações de Legendre) \[ [(1- x^2)\cdot y'(x) ]' + p\cdot(p+1) \cdot y(x) = 0,\]\[y''(x) - \frac{2 x}{1 - x^2 }\cdot y'(x) + \frac{p\cdot (p+1)}{1- x^2} \cdot y(x)= 0,\quad - 1 < x < 1\]


Afirmação: As equações de Legendre têm soluções em séries de potências convergentes
\[y = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot x^n,\]
cujo intervalo de convergência é pelo menos $-1 < x < 1$.


Nos parágrafos a seguir vamos obter a fórmula de recorrência entre os coeficientes $c_n$ e depois veremos como surgem soluções polinomiais.