Pontos Regulares (Ordinários) de Equações Diferenciais

Pontos regulares de equações diferenciais e soluções por séries de potências


Nesta Seção desenvolveremos um método geral e bastante concreto para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem:
\[M(x)\cdot y^{\prime\prime} + P(x) \cdot y^{\prime} + Q(x)\cdot y = 0\]

Buscaremos soluções $y(x)$ no formato de séries infinitas
\[ y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \, a_n\cdot (x-x_ 0)^n \]
Do ponto de vista prático, poderemos truncar a série infinita na ordem/grau $N$ que nos interessar (ou que o computador permitir):
\[ y(x) \sim \sum_{n=0}^{N} \, a_n \cdot (x-x_ 0)^n \]

Diremos que essa equação está na forma normal se for reescrita como\[y^{\prime\prime} + \frac{P(x)}{M(x)} \cdot y^{\prime} + \frac{Q(x)}{M(x)}\cdot y = 0\]
O método de resolução funcionará se ambas as funções \[\frac{P(x)}{M(x)}\quad\mbox{e}\quad \frac{Q(x)}{M(x)}\]forem séries de potências convergentes em torno de $x_0$. Um ponto $x_0$ desse tipo é chamado de ponto regular (ou ordinário) da equação diferencial.

Interações determinarão os coeficientes dos truncamentos das soluções em séries.