Pontos Singulares de Equações Diferenciais de segunda ordem

Pontos singulares de equações diferenciais e soluções por séries de Frobenius


Suponha uma equação linear de segunda ordem homogênea escrita na forma normal:
\[ y^{\prime\prime} + P(x) \, y^{\prime} + Q(x) \, y = 0,\]

onde $P(x)$ e $Q(x)$ podem ser escritos como séries de potências convergentes em torno de $x_0$ (em particular, se $P(x)$ e $Q(x)$ são polinômios.
Na Seção Pontos regulares de equações diferenciais e soluções por séries de potências vimos que as soluções dessa equação são combinações lineares de duas soluções dadas por séries de potências convergentes em torno de $x_0$: \[{\small y_1 = \sum_{n=0}^{+\infty} \, a_n \, (x-x_0)^n\quad \mbox{e}\quad y_2 = \sum_{n=0}^{+\infty} \, b_n \, (x-x_0)^n,}\]
Porém, quando $P(x)$ ou $Q(x)$ não pode ser expresso como série de potências em torno de $x_0$, pode ser impossível obter as soluções usando apenas séries de potências.

Por exemplo, a equação \[x^2 \, y^{\prime\prime} + x \, y^{\prime} - y^{\prime} = 0\] tem soluções que são combinações de \[y_1= x\quad\mbox{e}\quad y_2 = x^{-1} = \frac{1}{x}\]
Esta última solução $y_2 = \frac{1}{x}$ não se escreve como série em torno de $x_0=0$, pois não tem sequer uma estensão contínua em $x_0=0$.
Definição: O ponto $x_0$ é dito singular para a equação $y^{\prime\prime} + P(x) \, y^{\prime} + Q(x) \, y = 0 $ se $P(x)$ ou $Q(x)$ não pode(m) ser escrito(s) como série(s) infinita(s) convergente(s) em torno de $x_0$.

Alerta: Não há um método geral para tratar todos os pontos singulares.

Felizmente existe um método para pontos singulares que são "leves" (no sentido que vamos especificar no próximo parágrafo).
Interações permitirão calcular termo a termo soluções de Equações Diferenciais com singularidades "leves".