Regiões espaciais Esféricas e Problemas de Dirichlet

Equação de Laplace e Problemas de Dirichlet em coordenadas esféricas


Estudamos a Equação de Laplace e os Problemas de Dirichlet em regiões do plano usando coordenadas cartesianas e polares na Seção Equação de Laplace e problemas de Dirichlet e na Seção Equação de Laplace e Problema de Dirichlet em coordenadas polares.
Agora veremos como tratar desse mesmo tema no espaço, para regiões que tenham simetria esférica (bolas, metades de bolas, regiões compreendidas entre bolas, etc).
Por isso usaremos o sistema de coordenadas esféricas, em que:
Um ponto espacial $P$ (diferente da origem) fica determinado por 3 dados $(\rho, \phi, \theta)$:
i): $0 < \rho $ é a distância de $P$ até a origem $O$,
ii): $0 \leq \phi \leq \pi$ é a latitude de $P$, com $\phi= 0$ se $P$ está no eixo $z > 0$ e $\phi = \pi$ se $P$ está no eixo $z < 0$,
iii): $0 \leq \theta < 2 \pi$ é a longitude do ponto, com $\theta= 0$ se $P$ está no eixo $x>0$.

Podemos estabelecer um dicionário entre os sistema de coordenas esféricas e o sistema cartesiano $(x,y,z)$.
Afirmação 1 (Dicionário Cartesiano-Esférico) : Se $P = (x,y,z) = (\rho , \phi , \theta)$ valem\[\begin{cases} x = \rho \cdot \sin(\phi) \cdot \cos(\theta) \\ y = \rho \cdot \sin(\phi) \cdot \sin(\theta) \\ z = \rho \cdot \cos(\phi) \end{cases}\]\[\begin{cases} \rho = \sqrt{ x^2+ y^2 +z^2} \\ \phi = \arccos(\frac{z }{ \sqrt{ x^2+ y^2 +z^2} } ) \\ \theta = \arccos(\frac{x}{ \sqrt{ x^2+ y^2} } ) \end{cases}\]


As coordenadas esféricas estão implementadas na Interação a seguir. No Exemplo default a seguir temos o análogo em coordenadas esféricas do paralelepípedo usual:

O problema geral que nos interessa nesta Seção é:
Problema de Dirichlet: Determinar funções $T=T(\rho , \theta, \phi)$ que tenham Laplaciano nulo \[\nabla^2 T \equiv 0\] no interior de uma região espacial $\Omega$ e tais que as restrições de $T$ à superfície-fronteria $\mbox{fr}(\Omega)$ coincidam com funções $f$ que são dadas de partida:
\[T_{| \mbox{fr}(\Omega) } = f \]

Uma interpretação Física desse problema ocorre quando temperaturas $f$ são mantidas constantes na ssuperfície-fronteira e $T$ é a temperatura no interior da região, quando já não muda no tempo, ou seja, quando entra em regime estacionário.
Isso resulta do fato que a Equação da Difusão do Calor - Seção Equação da Difusão do Calor e Problemas de Esfriamento - tem uma versão espacial
\[\frac{\partial T}{\partial t} = k^2 \cdot \nabla^2 T\]
e, portanto, a temperatura não muda no tempo exatamente quando se anula seu Laplaciano.