Campos vetoriais lineares e suas trajetórias

Campos vetoriais lineares no plano

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Um campo vetorial no plano consiste em associar a cada ponto $P$ de uma região do plano $(x,y)$ um vetor $v_P$:
\[P\mapsto v_p\]
O vetor $v_P$ pode ser pensado como tendo origem no ponto $P$ e representa uma velocidade instantânea.
A Interação a seguir plota campos vetoriais no plano.

O exemplo default dessa Interação tem em sua primeira coordenada um termo cúbico. Ou seja, não é um campo linear no sentido da definição a seguir:

Campos lineares no espaço são tratados na Seção Campos vetoriais lineares no espaço dos Complementos ao Curso de Equações Diferenciais.
Na maioria das aplicações e exercícios os coeficientes $a,b,c,d,A,B$ são números Racionais. Aqui nos concentraremos em campos lineares com $A=B=0$, ou seja,

É importante pensar que estamos associando uma velocidade instantânea a cada ponto, ou seja, que estamos definindo um campo de velocidades:
\[ (x^{\prime} \, , \, y^{\prime} \,) = ( a\cdot x + b \cdot y\, , \, c\cdot x + d \cdot y)\]
Observe que campos vetoriais dessa forma associam a velocidade instantânea zero à origem $(x,y)=(0,0)$. A origem é então chamada de ponto crítico do campo.
Vamos buscar trajetórias exatas desses campos de velocidades, ou seja, curvas parametrizadas

tais que

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