Campos vetoriais lineares e suas trajetórias

Campos vetoriais lineares no plano


Um campo vetorial no plano consiste em associar a cada ponto $P$ de uma região do plano $(x,y)$ um vetor $v_P$:
\[P\mapsto v_p\]
O vetor $v_P$ pode ser pensado como tendo origem no ponto $P$ e representa uma velocidade instantânea.
A Interação a seguir plota campos vetoriais no plano.

O exemplo default dessa Interação tem em sua primeira coordenada um termo cúbico. Ou seja, não é um campo linear no sentido da definição a seguir:
Definição: Um campo de vetores do plano é Linear se existem números $a,b,c,d,A,B$ Reais tais que
\[{\small (x,y) \mapsto ( a\cdot x + b \cdot y + A\, , \, c\cdot x + d \cdot y + B )} \]

Campos lineares no espaço são tratados na Seção Campos vetoriais lineares no espaço dos Complementos ao Curso de Equações Diferenciais.
Na maioria das aplicações e exercícios os coeficientes $a,b,c,d,A,B$ são números Racionais. Aqui nos concentraremos em campos lineares com $A=B=0$, ou seja,
\[ (x , y) \mapsto ( a\cdot x + b \cdot y\, , \, c\cdot x + d \cdot y)\]

É importante pensar que estamos associando uma velocidade instantânea a cada ponto, ou seja, que estamos definindo um campo de velocidades:
\[ (x^{\prime} \, , \, y^{\prime} \,) = ( a\cdot x + b \cdot y\, , \, c\cdot x + d \cdot y)\]
Observe que campos vetoriais dessa forma associam a velocidade instantânea zero à origem $(x,y)=(0,0)$. A origem é então chamada de ponto crítico do campo.
Vamos buscar trajetórias exatas desses campos de velocidades, ou seja, curvas parametrizadas
\[\gamma(t) = (x(t) , y(t) ),\quad t\in \mathbb{R}\]

tais que
\[{\small (x^{\prime}(t) \, , \, y^{\prime}(t) \,) = ( a\cdot x(t) + b \cdot y(t)\, , \, c\cdot x(t) + d \cdot y(t))}\]

Devemos dizer que os campos vetoriais não-lineares são aqueles que modelam os fenômenos complexos da natureza, ao contrário dos campos lineares, cujas aplicações diretas são restritas. Mas, em geral, não sabemos descrever exatamente as trajetórias dos campos não-lineares, enquanto que sim sabemos fazê-lo no caso dos lineares, como veremos nesta Seção.






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01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
06 Equações Separáveis da Cinética Química
07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
14 Equações de Bernoulli
15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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