Etapas do crescimento populacional modeladas por uma equação diferencial

Equação do crescimento populacional e função logística


Quando espécie se encontra em um meio-ambiente propício, tem um crescimento populacional rápido.
Mas, à medida que começam a escacear os recursos naturais e aumentar os detritos ou competição, o crescimento começa a enfraquecer e a população, a longo prazo, tende a um valor que expressa a capacidade limite do ambiente.
Essa descrição se aplica tanto ao crescimento da levedura posta em um meio de cultivo propício, quanto ao desenvolvimento histórico da população humana em vários países.
Afirmação (Equação diferencial para crescimento populacional) Se $y(t)$ é a população em cada instante $t$, o crescimento populacional pode ser modelado por ( $k >0 $ e $s>0$):\[y^{\prime}(t) = k\cdot y(t) - s\cdot y^2(t)\]

Note que a contribuição negativa de \[- s \cdot y^2(t)\] inicialmente é pouco importante, pois \[0 < y(t) < 1\quad \Rightarrow \quad y^2(t) < y(t)\]Mas, à medida que $y(t) \geq 1$ aumenta, o termo negativo \[-s\cdot y^2(t)\] torna-se relevante.
Nesta Seção vamos determinar a expressão exata de $y(t)$, conceitualmente e via Interações, e analisar inflexões e assíntotas desses gráficos.





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Aulas

01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
06 Equações Separáveis da Cinética Química
07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
14 Equações de Bernoulli
15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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