O que são as equações diferencias autônomas

Equações autônomas de primeira ordem e seu estudo qualitativo


Considere uma equação diferencial de primeira ordem (na forma normal) \[ y^{\prime}(x) = F(x,y)\]Ela modela a variação da grandeza $y(x)$ em termos de $x$ e $y(x)$.
A equação será dita equação diferencial autônoma se for da forma \[y^{\prime}(x) = F(y)\]

Se $x$ for pensado como tempo, isso significa que a equação diferencial a que está submetida $y(x)$ não muda no tempo (apesar de que, certamente, a grandeza $y(x)$ depende do tempo).

É claro que algumas equações autônomas \[y^{\prime} = F(y)\] podem ser resolvidas exatamente: por exemplo, as do tipo \[y^{\prime} = r\cdot y - s\cdot y^2,\quad r,s\in \mathbb{R}\] são resolvidas na Seção Equação do crescimento populacional e função logística e na Seção Equações diferenciais de Bernoulli.
Mas outra equação como \[y^{\prime} = (y-1)(y+1)^2\] tem solução implícita
\[{\scriptsize -\frac{(y+1) \ln (y+1)-(y+1)\ln(y-1)-2}{4 (y+1)} = x+c,\, c\in \mathbb{R} }\]
e não fica claro qual é a expressão explícita $y(x)$ das soluções.
À medida que aumenta o grau de $F(y)$ (se for polinomial), não somente seria difícil explicitar a solução $y(x)$, como também seria difícil entender aspectos importantes das soluções. Por exemplo, detectar inflexões dos gráficos $y(x)$, que exigem o cálculo de $y^{\prime\prime}(x)$.
Esses são alguns dos motivos que motivam:
Proposta: Ao invés de resolver exatamente as equações diferenciais autônomas
\[y^{\prime} = F(y),\] usar técnicas qualitativas que permitam entender:
1) os tipos de soluções $y(x)$ (crescentes, decrescentes, constantes, periódicas, etc)
2) para onde tende $y(x)$ quando $x\to +\infty$ e
3) onde se localizam as inflexões dos gráficos $y(x)$.

Os parágrafos seguintes implementam essa Proposta.




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01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
06 Equações Separáveis da Cinética Química
07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
14 Equações de Bernoulli
15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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