Uma técnica para resolver equações autônomas de segunda ordem

Equações diferenciais de segunda ordem autônomas


Podemos usar o que sabemos do fenômeno da queda vertical sem atrito - cf. Seção Queda livre e arremessos com ou sem atrito - como motivação para a técnica que apresentaremos agora.
Durante a queda a velocidade \[y^{\prime}(x) = \frac{d y}{d x}\] depende do tempo: ela aumenta à medida que aumenta o tempo $x$ de queda.
Mas também podemos pensar que a velocidade é função da altura \[y^{\prime}= y^{\prime}(y),\] pois a velocidade aumenta à medida que a altura diminui.
Se pensamos então que \[ y^{\prime}= y^{\prime}(y)\] podemos aplicar a Regra da Cadeia e obter (com a notação de Leibniz é melhor !)
\[\frac{d^2 y }{ dx^2 } = \frac{d ( \frac{d y}{d x}(y) ) }{ dx} \underbrace{=}_{R.C.} \frac{d (\frac{d y}{d x}(y)) }{ d y} \cdot \frac{d y}{d x}\]
Como é comum na Física-Matemática, usaremos a notação \[p(y) := \frac{d y}{d x}(y)\] e podemos dizer que a equação de segunda ordem da queda livre sem atrito \[y^{\prime\prime} = - g \]
se transforma na equação de primeira ordem \[p \cdot \frac{dp}{dy} = - g \]
Definição: Chamamos de autônoma uma equação diferencial de segunda ordem \[y^{\prime\prime} = P( y , y^{\prime} )\]
sobre a função $y(x)$ em que a variável independente $x$ não figura explicitamente na equação diferencial.

Em geral, temos uma técnica de redução d eordem que será útil e que remonta a Riccati:
Afirmação: Uma equação diferencial de segunda ordem autônoma \[y^{\prime\prime} = P( y , y^{\prime} )\] para a função $y= y(x)$, transforma-se numa equação de primeira ordem \[p \cdot \frac{dp}{dy} = P( y , p )\] para a função $p(y) = y^{\prime}(y)$.

Observe que, após resolver \[p \cdot \frac{dp}{dy} = P( y , p ),\] ainda precisaremos resolver outra equação diferencial de primeira ordem \[p = y^{\prime} = G( x, y)\]
Exemplos no próximo parágrafo tornarão mais clara essas idéias.
Uma equação autônoma e não-linear modela o movimento do pêndulo simples sem atrito, cf. Seção Equações diferenciais linear e não linear do pêndulo sem atrito e funções de Jacobi dos Complementos ao Curso de Equações Diferenciais.




Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
06 Equações Separáveis da Cinética Química
07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
14 Equações de Bernoulli
15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

Tópicos