Redução de ordem na ausência da variável dependente $y(x)$

Equação diferencial de segunda ordem sem a variável dependente


Uma equação diferencial de segunda ordem geral pode ser escrita na chamada forma normal como
\[y^{\prime\prime} = P(x, y, y^{\prime}) \]

(note que a segunda derivada está isolada à esquerda).
Nesta Seção trataremos de equações de segunda ordem especiais, em que não figura explicitamente a variável dependente $y(x)$ no lado direito, ou seja,
\[y^{\prime\prime} = P(x, y^{\prime})\]

O ponto-chave é:
Esse tipo de equação de segunda ordem se reduz a equações de primeira ordem\[ z^{\prime} = P(x,z),\quad \mbox{com}\quad z = y^{\prime} \]

O primeiro exemplo é:
Exemplo 1: As soluções de \[y^{\prime\prime} = - \frac{y^{\prime}}{x} + 1,\quad x> 0\]
são\[y = \frac{x^2}{4} + K_1 \cdot \ln(x) + K_2 ,\quad K_1, K_2\in \mathbb{R} \]


A Interação a seguir plota diversas soluções, dependendo de $1$ parâmetro e serve para ilustrar o Exemplo 1:

Nos próximos parágrafos teremos mais exemplos e Interações para resolver equações diferenciais.





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01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
06 Equações Separáveis da Cinética Química
07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
14 Equações de Bernoulli
15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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