A definição de Equação Exata de primeira ordem

Equações Exatas de primeira ordem e o Critério de Euler


Nesta seção vamos considerar equações diferenciais de primeira ordem para a função $y=y(x)$ da forma
\[ M(x,y) + N(x,y) \cdot y^{\prime} = 0\]

ou, como aparece em alguns livros-textos:
\[{\small M(x,y) \cdot dx + N(x,y) \cdot dy = 0}\]
Definição (Equação Diferencial Exata): A equação diferencial \[M(x,y) + N(x,y) \cdot y^{\prime} = 0\] é chamada de Exata se existe uma função $U(x,y)$ com a seguinte propriedade:\[{\small \frac{\partial U(x,y)}{ \partial x} = M(x,y) \quad \mbox{e}\quad \frac{\partial U(x,y)}{ \partial y} = N(x,y)} \]

Observação 1: As igualdades devem ser entendidas para todo $(x,y)$ no domínio de $U(x,y)$.

Vamos ver no próximo parágrafo que, se a equação for exata, as soluções são da forma
\[U(x,y) = c,\quad c \in \mathbb{R},\]
ou seja, curvas de nível de $U(x,y)$.
As questões que surgem são:
Questões:
a) como saber na prática se a equação dada é exata. Ou seja, como saber se existe função $U(x,y)$ como na definição acima.
b) Se existe $U(x,y)$, como determiná-la? Pois conhecer $U(x,y)$ é conhecer as soluções da equação.

Sobre o item a), veremos uma condição ou critério que remonta a L. Euler.
Depois explicaremos e implementaremos em Interações o item b).




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01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
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07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
14 Equações de Bernoulli
15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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