A definição de Equação Exata de primeira ordem

Equações Exatas de primeira ordem e o Critério de Euler

Nesta seção vamos considerar equações diferenciais de primeira ordem para a função $y=y(x)$ da forma

\[ M(x,y) + N(x,y) \cdot y^{\prime} = 0\]

ou, como aparece em alguns livros-textos:
\[{\small M(x,y) \cdot dx + N(x,y) \cdot dy = 0}\]

Definição (Equação Diferencial Exata): A equação diferencial \[M(x,y) + N(x,y) \cdot y^{\prime} = 0\] é chamada de Exata se existe uma função $U(x,y)$ com a seguinte propriedade:\[{\small \frac{\partial U(x,y)}{ \partial x} = M(x,y) \quad \mbox{e}\quad \frac{\partial U(x,y)}{ \partial y} = N(x,y)} \]

Observação 1: As igualdades devem ser entendidas para todo $(x,y)$ no domínio de $U(x,y)$.

Vamos ver no próximo parágrafo que, se a equação for exata, as soluções são da forma
\[U(x,y) = c,\quad c \in \mathbb{R},\]
ou seja, curvas de nível de $U(x,y)$.
As questões que surgem são:

Questões:
a) como saber na prática se a equação dada é exata. Ou seja, como saber se existe função $U(x,y)$ como na definição acima.
b) Se existe $U(x,y)$, como determiná-la? Pois conhecer $U(x,y)$ é conhecer as soluções da equação.

Sobre o item a), veremos uma condição ou critério que remonta a L. Euler.
Depois explicaremos e implementaremos em Interações o item b).

Soluções da equação como curvas de nível »

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Exercícios ( 08 )