O que são as equações homogêneas de grau zero

Equações diferenciais homogêneas (de grau zero)


Uma idéia básica da Matemática é fazer a solução de um problema novo recair numa solução conhecida.
Veremos nesta Seção como transformar um tipo especial de equação diferencial não-separável em outra que é sepáravel e que pode ser resolvida com os resultados da Seção Equações diferenciais separáveis.
Começamos com uma definição:
Definição: Uma função $F(x,y)$ é chamada de homogênea de grau $d$ se \[F(t\cdot x , t\cdot y) = t^d \cdot F(x,y),\quad \quad \forall t \neq 0\]

Por exemplo, $F(x,y) = x^2+ y^2$ é homogênea de grau $2$, enquanto que $F(x,y) = x^2 + y$ não é homogênea.
O caso particular que nos interessa é de funções homogêneas de grau $0$, ou seja, que verificam
\[ F (t\cdot x , t \cdot y) = F(x,y), \quad \forall t \neq 0 \]
Definição: Uma equação diferencial \[y^{\prime} = F(x,y)\] é chamada de homogênea de grau 0 se $F(x,y)$ é uma função homogênea de grau $0$.

Afirmação: São Homogêneas de grau $0$ as equações diferenciais
\[ y^{\prime} = \frac{y^2}{x^2},\quad y^{\prime} = \frac{y^2 + x y + x^2 }{ x^2 }\quad\mbox{e}\quad y^{\prime} = \frac{x-y}{y} \]


A primeira equação é do tipo separável \[y^{\prime} = \frac{y^2}{x^2}\] (cf. Seção Equações diferenciais separáveis ), enquanto que a segunda e a terceira não são separáveis.
Veremos nesta Seção que:
A resolução de equações homogêneas de grau 0 recai na resolução de equações separáveis, após uma mudança de coordenadas.





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01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
06 Equações Separáveis da Cinética Química
07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
14 Equações de Bernoulli
15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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