O que é uma equação separável e como resolvê-la

Equações diferenciais separáveis


Um equação de primeira ordem está na chamada forma normal quando a derivada da variável dependente $y(x)$ aparece isolada:
\[ y^{\prime}(x) = F(x,y)\]
Definição: Uma equação de primeira ordem na forma normal é dita Separável, se o lado direito pode ser re-escrito como\[y^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{g(y)}, \quad \mbox{com} \quad g(y)\neq 0\]

Usando a notação de Leibniz para a derivada \[y^{\prime} = \frac{dy}{dx},\]
podemos dizer que a idéia intuitiva para resolver uma equação separável é escrever
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)} \]
como
\[ g(y) \cdot dy = f(x)\cdot dx\]
e então integrar o lado esquerdo em $y$ e o lado direito em $x$:
\[ G(y) := \int g(y) \cdot dy = \int f(x)\cdot dx = F(x) + C,\]
onde \[C\in \mathbb{R}\]
reúne do lado direito as constantes de integração.
As curvas \[G(y) - F(x) = C,\quad C\in \mathbb{R}\] são as soluções gerais.

Observação: Em geral não é fácil explicitar funções \[y= h(x,C)\] a partir das soluções gerais implícitas \[G(y) - F(x) = C\]

Mas sempre é possível expressar uma solução explícita $y=h(x,C)$ em forma implícita $H(x,y,C) = 0$, usando
\[H (x,y,C) := y - h(x,C)\]
Entre as aplicações interessantes das equações separáveis, destacamos:
i) na Química, Seção Equações diferenciais separáveis da Cinética Química,
ii) na Bioquímica e Demografia, Seção Equação do crescimento populacional e função logística ,
iii) na Ecologia, Seção Interação predador-presa e campo de Lotka-Volterra dos Complementos ao Curso de Equações Diferenciais.




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Aulas

01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
06 Equações Separáveis da Cinética Química
07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
14 Equações de Bernoulli
15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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