Nem sempre existe ou é única a solução de uma equação diferencial

Soluções de equações diferenciais de primeira ordem e o algoritmo de Picard


Seria contrangedor buscar uma solução que não existe ou encontrar mais de uma resposta para o mesmo problema matemático.
As duas situações podem ocorrer em Equações Diferenciais, se não forem tomadas as devidas precauções.
Definição: Quando um problema matemático tem uma única solução ele é chamado de problema bem posto.

Por exemplo, gostaríamos que o problema de valor inicial \[\begin{cases} y^{\prime} = F(x,y(x)) \\ y(x_0)= y_0\end{cases}\] fosse do tipo bem posto: ou seja, que houvesse um solução $y= y(x)$, com $y(0)= y_0$, e que essa solução fosse a única.
Mas nem sempre é assim:
Exemplos que mostram que i) nem sempre a solução é um gráfico $y= y(x)$ ou ii) pode não haver solução ou haver mais de um candidato razoável a solução.

Exemplo 1:
\[y^{\prime}(x) = \frac{y}{x},\quad x\neq 0\]

Algumas soluções da equação do Exemplo 1, esboçadas na Interação a seguir, indicam que não há soluções ao longo do eixo $x=0$ e que há vários candidatos por $(0,0)$:


No próximo parágrafo mais exemplos onde a solução não é um gráfico, ou onde há mais de uma solução.
Depois, o Teorema de Picard trará luz ao problema: dará condições suficientes que garantem que haja uma única solução em forma de gráfico passando por cada ponto

O Teorema de Picard dá um algoritmo de aproximação da solução. Esse algoritmo será implementado em Interações que mostram as aproximações.





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20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
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