O que é um Fator de Integração (Fator Integrante)

Fatores de integração


Na Seção Equações de primeira ordem exatas e critério de Euler, tratamos das equações diferenciais (de primeira ordem)
\[M(x,y) + N(x,y) \cdot y^{\prime} = 0\]

que são exatas. Nesta Seção vamos tratar de equações que precisam ser modificadas para tornarem-se exatas.
A modificação consiste em multiplicar a equação por uma função adequada, chamada de fator de integração.

Para começar, considere por exemplo a equação \[(\frac{y}{x} - 1) + y^{\prime} = 0\]Essa equação não é exata, mas torna-se exata após multiplicação por \[\mu(x) = x\] De fato,\[ ( y - x) + x y^{\prime} = ( x y(x) - \frac{x^2}{2})^{\prime},\]ou seja, \[U(x,y) = x y - \frac{x^2}{2} = c\] são as curvas soluções da equação. A Interação a seguir plota diversas dessas curvas:

Definição (Fator de Integração): Seja $\mu$ uma função (não-constante). Se a equação diferencial \[M(x,y) + N(x,y) \cdot y^{\prime} = 0\] não for exata , mas \[\mu\cdot M(x,y) + \mu\cdot N(x,y) \cdot y^{\prime} = 0\] for exata, dizemos que $\mu$ é um fator de integração da equação.

Veremos que os fatores de integração satisfazem outras equações diferencias; será resolvendo essas novas equações que serão determinados.

As Interações desta Seção permitirão determinar fatores de integração na variável $x$
\[\mu=\mu(x)\]
ou na variável $y$
\[ \mu=\mu(y)\]

Depois de determinado um fator de integração, deve-se resolver a equação diferencial exata. E isso também está implementado em Interações.




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02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
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12 Fatores de Integração
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15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
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18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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