Modelagem da lei de esfriamento

Equação diferencial da lei de esfriamento de Newton


Um objeto quente é posto em um ambiente de baixa temperatura (mantida constante)
A experiência nos diz que o objeto vai esfriar e que a velocidade do esfriamento depende da natureza do objeto (metálico, cerâmico, etc).

Por exemplo, se o objeto for uma xícara de café, a perda de temperatura para o ambiente será maior ou menor dependendo se a xícara for de metal ou de porcelana. A composição do ambiente também pode influenciar no processo de esfriamento.
Mas também a experiência indica que, quanto maior a diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente, mais rápido é o esfriamento.

O que a lei de esfriamento de I. Newton propõe é que:
A taxa de variação da temperatura do objeto em cada instante é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente.

Se $T(t)$ for a função temperatura do objeto e $T_A$ temperatura (fixa) do ambiente, a expressão da lei de esfriamento é uma equação diferencial:\[T^{\prime}(t) = k\cdot (T_A - T(t)),\]onde \[k >0\] é uma constante que depende dos materiais do objeto e do ambiente.

.Note que \[k\cdot (T_A - T(t)) < 0\quad \mbox{e}\quad T^{\prime}(t) < 0,\] portanto a temperatura do objeto decresce.

Devemos observar que nesse modelo há uma grande idealização e simplificação. Pois, além da temperatura do ambiente não ser afetada pela temperatura do objeto, a temperatura do objeto não varia de ponto a ponto.
Trataremos da situação mais realista, em que a temperatura não só evolui no tempo, mas também depende de cada ponto do objeto na Seção (mais avançada) Equação da Difusão do Calor e Problemas de Esfriamento do Curso de Equações Diferenciais em mais variáveis e Séries.




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01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
06 Equações Separáveis da Cinética Química
07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
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15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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