A lei de Hooke (com e sem atrito)

Lei de Hooke, atrito e tipos de amortecimentos


Considere um carrinho num plano horizontal e ligado a uma parede por uma mola. Quando a mola é contraída ou expandida, surge uma força de restauração do comprimento original da mola.
A Lei de Hooke diz que a força de restauração é proporcional à variação no comprimento da mola (para pequenas variações no comprimento).

Se escolhermos um sistema de coordenadas em que $x=0$ marca a posição de relaxamento da mola, então a força de restauração pode ser escrita como
\[F = m\cdot x^{\prime\prime}(t) = - k \cdot x(t),\quad k > 0\]

onde $k >0$ é uma constante que depende da dureza mola.
O sinal negativo significa que a força tem sentido oposto ao deslocamento. Por exemplo, posição $x > 0$ significa que a mola foi expandida e a força de restauração atua para diminuir a posição $x$. Analogamente, $x< 0$ significa contração da mola e a força de restauração faz aumentar a coordenada $x$.
A Interação mostra as três situações:

A situação sem atrito é uma idealização. Em geral sempre há algum atrito entre o objeto que se desloca e a superfície, e pela experiência, sabemos que, após algum tempo um objeto que oscila vai parar.
Uma versão da lei de Hooke mais realista deveria levar em conta o atrito, cujo efeito aumenta com o aumento da velocidade do objeto.
Um modelo linear para o atrito é dado pela seguinte modificação da Lei de Hooke:\[ x''(t)= - \frac{k}{m} x(t) - \frac{c}{m}\cdot x^{\prime}(t),\]onde $c > 0$ é uma constante que define a intensidade de atrito.


Nesta Seção vamos analisar e ilustrar os tipos de amortecimentos decorrentes do modelo linear de atrito.
Interações mostrarão animações dos amortecimentos.
Para tornar mais realista ainda a situação, seria preciso considerar uma força externa $F(t)$ (algo que empurra a mola, o vento que sopra, etc). Mas a equação resultante
\[ x''(t) = - \frac{k}{m} x(t) - \frac{c}{m}\cdot x^{\prime}(t) + F(t) \]

seria agora uma equação não-homogênea. Adiaremos o tratamento dessa situação para a Seção Método dos coeficientes a determinar para equações diferenciais não-homogêneas.




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20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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