Apresenta a série de Livros-interativos da UFRGS
Equações Diferenciais
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
Método de D'Alembert de redução de ordem para equações de segunda ordem
Exercícios ( 08 )
O método de D'Alembert depende do conhecimento prévio de uma solução
Método de D'Alembert de redução de ordem para equações de segunda ordem
Para avançarmos no estudo de Matemática, precisamos sempre do apoio em alguma etapa que já foi vencida. Daí então poderemos aprender ou criar mais.
Vamos imaginar a situação em que temos já conhecida uma solução $y_1(x)$ (não-trivial) de uma equação linear homogênea de segunda ordem
\[y''(x)+ p(x) \cdot y'(x)+ q(x)\cdot y(x) = 0\]
($p(x)$ e $q(x)$ podem ser funções não-constantes)
O que queremos é produzir outra solução $y_2(x)$.
Como a equação diferencial é linear e homogênea, sempre podemos considerar múltiplos \[ y = C\cdot y_1,\quad \,C\in \mathbb{R},\] que são também soluções da equação diferencial.
Mas queremos uma solução realmente diferente, ou seja, linearmente independente.
O método de D'Alembert (chamado também de de redução de ordem) nos dirá como achar essa segunda solução $y_2$.
Observação: Não há um método universal para resolver exatamente todas as equações do tipo
\[ y''(x)+ p(x) \cdot y'(x)+ q(x)\cdot y(x) = 0\]
e produzir a primeira solução $y_1(x)$. Apenas quando os coeficientes $p(x)$ e $q(x)$ são constantes ou especiais sabemos uma solução exata $y_1(x)$.
\[ y''(x)+ p(x) \cdot y'(x)+ q(x)\cdot y(x) = 0\]
e produzir a primeira solução $y_1(x)$. Apenas quando os coeficientes $p(x)$ e $q(x)$ são constantes ou especiais sabemos uma solução exata $y_1(x)$.
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