O método de D'Alembert depende do conhecimento prévio de uma solução

Método de D'Alembert de redução de ordem para equações de segunda ordem


Para avançarmos no estudo de Matemática, precisamos sempre do apoio em alguma etapa que já foi vencida. Daí então poderemos aprender ou criar mais.
Vamos imaginar a situação em que temos já conhecida uma solução $y_1(x)$ (não-trivial) de uma equação linear homogênea de segunda ordem
\[y''(x)+ p(x) \cdot y'(x)+ q(x)\cdot y(x) = 0\]
($p(x)$ e $q(x)$ podem ser funções não-constantes)
O que queremos é produzir outra solução $y_2(x)$.

Como a equação diferencial é linear e homogênea, sempre podemos considerar múltiplos \[ y = C\cdot y_1,\quad \,C\in \mathbb{R},\] que são também soluções da equação diferencial.

Mas queremos uma solução realmente diferente, ou seja, linearmente independente.

O método de D'Alembert (chamado também de de redução de ordem) nos dirá como achar essa segunda solução $y_2$.

Observação: Não há um método universal para resolver exatamente todas as equações do tipo
\[ y''(x)+ p(x) \cdot y'(x)+ q(x)\cdot y(x) = 0\]
e produzir a primeira solução $y_1(x)$. Apenas quando os coeficientes $p(x)$ e $q(x)$ são constantes ou especiais sabemos uma solução exata $y_1(x)$.





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01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
06 Equações Separáveis da Cinética Química
07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
14 Equações de Bernoulli
15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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