Adaptação do Método de Euler para segunda ordem e campos vetoriais

Método de Aproximação de Euler para equações diferenciais de segunda ordem

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Na Seção Método de Aproximação de Euler para equações diferenciais de primeira ordem vimos o primeiro método para aproximar soluções de problemas de primeira ordem
\[\begin{cases} y^{\prime} = P(x,y)\\ y(x_0) = y_0 \end{cases}\]

Há uma passagem natural de equação diferencial de segunda ordem a campo vetorial.
Ao problema de valores iniciais

podemos associar um campo vetorial no plano
\[( s , w) := (y \, , \, y^{\prime})\]
dado por

com ponto inicial \[(s_0, w_0) = (y(x_0) , y^{\prime}(x_0))\]
O algoritmo de aproximação de Euler propõe
\[\begin{cases} s_1 := s_0 + h\cdot w_0 \\ w_1 := w_0 + h\cdot P(s_0, w_0) \end{cases}\]
em seguida
\[ \begin{cases} s_2 := s_1 + h\cdot w_1 \\ w_2 := w_1 + h\cdot P(s_1, w_1) \end{cases} \]
e assim sucessivamente:


Ligando os pontos
\[(s_0,w_0),\quad (s_1,w_1),\quad \ldots \quad (s_n , w_n)\]
formamos uma linha quebrada que aproxima a trajetória exata
\[\gamma(x) = (s(x) , w(x) )\]
do campo de velocidades
\[\begin{cases} s^{\prime} = w\\ w^{\prime} = P(s , w) \end{cases}\]
No próximo parágrafo vamos ver como estender essa idéia de aproximação a um campo vetorial geral no plano $(s,w)$, dado por

E Implementaremos o algoritmo de aproximação das trajetórias em Interações. Daremos exemplos e aplicações.

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