Adaptação do Método de Euler para segunda ordem e campos vetoriais

Método de Aproximação de Euler para equações diferenciais de segunda ordem


Na Seção Método de Aproximação de Euler para equações diferenciais de primeira ordem vimos o primeiro método para aproximar soluções de problemas de primeira ordem
\[\begin{cases} y^{\prime} = P(x,y)\\ y(x_0) = y_0 \end{cases}\]
Agora queremos adaptar aquela idéia para problemas de valores iniciais de segunda ordem e para campos vetoriais, ou seja, aproximar soluções e trajetórias.

Há uma passagem natural de equação diferencial de segunda ordem a campo vetorial.
Ao problema de valores iniciais
\[\begin{cases} y^{\prime\prime} = P(y , y^{\prime})\\ y(x_0) = y_0,\quad y^{\prime}(x_0) = y^{\prime}_0\end{cases} \]

podemos associar um campo vetorial no plano
\[( s , w) := (y \, , \, y^{\prime})\]
dado por
\[\begin{cases} s^{\prime} = w\\ w^{\prime} = P(s,w) \end{cases}\]

com ponto inicial \[(s_0, w_0) = (y(x_0) , y^{\prime}(x_0))\]
O algoritmo de aproximação de Euler propõe
\[\begin{cases} s_1 := s_0 + h\cdot w_0 \\ w_1 := w_0 + h\cdot P(s_0, w_0) \end{cases}\]
em seguida
\[ \begin{cases} s_2 := s_1 + h\cdot w_1 \\ w_2 := w_1 + h\cdot P(s_1, w_1) \end{cases} \]
e assim sucessivamente:
Afirmação (Método de Euler para um campo ): Seja o campo vetorial \[(s^{\prime} , w^{\prime} ) = (w , P(s,w) ),\] com $s_0 = y(x_0)$ e $w_0 = y^{\prime}(x_0)$ dados. Fixados um passo $h>0$ e um número $n$ de iterações, definimos
\[ \begin{cases} s_n := s_{n-1} + h\cdot w_{n-1} \\ w_n := w_{n-1} + h\cdot P(s_{n-1}, w_{n-1}) \end{cases} \]


Ligando os pontos
\[(s_0,w_0),\quad (s_1,w_1),\quad \ldots \quad (s_n , w_n)\]
formamos uma linha quebrada que aproxima a trajetória exata
\[\gamma(x) = (s(x) , w(x) )\]
do campo de velocidades
\[\begin{cases} s^{\prime} = w\\ w^{\prime} = P(s , w) \end{cases}\]
No próximo parágrafo vamos ver como estender essa idéia de aproximação a um campo vetorial geral no plano $(s,w)$, dado por
\[(s^{\prime} , w^{\prime} ) = (\, A(s,w) \, ,\, B(s,w)\, )\]

E Implementaremos o algoritmo de aproximação das trajetórias em Interações. Daremos exemplos e aplicações.




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01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
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08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
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18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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