Para que serve o método de Lagrange de Variação de Parâmetros

Método de Lagrange ou Variação de Parâmetros para equações de segunda ordem



Suponhamos conhecidas as soluções gerais
\[c_1\cdot y_1(x) + c_2\cdot y_2(x),\quad c_1, c_2\in \mathbb{R}\]

da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem:
\[y'' + p(x) \cdot y' + q(x) \cdot y = 0\]


Agora queremos buscar uma solução particular $y_{\mathcal{P}}(x)$ para o problema não-homogêneo
\[y'' + p(x) \cdot y' + q(x) \cdot y(x) = r(x)\neq 0\]

Chamaremos $y_{\mathcal{P}}(x)$ de solução não-homogênea.

O método que remonta a J.L. Lagrange é chamado de variação de parâmetros pois a solução não-homogênea $y_{\mathcal{P}}(x)$ terá a forma
\[y_{\mathcal{P}}(x) = u(x) \cdot y_ 1(x) + v(x)\cdot y_2(x)\]
Ou seja, trocaremos as constantes $c_1,c_2$ que figuram em \[c_1\cdot y_1(x) + c_2\cdot y_2(x)\] por funções não-constantes $u(x), v(x)$.
O objetivo é justificar em detalhe a afirmação a seguir e usá-la em Exemplos:
Afirmação (Método de Lagrange): Suponha que são conhecidas duas soluções independentes $y_1$ e $y_2$ da equação diferencial homogênea \[y'' + p(x) \cdot y' + q(x) \cdot y = 0\]
Então uma solução da equação não-homogênea
\[ y'' + p(x) \cdot y' + q(x) \cdot y = r(x) \]
é dada por
\[{\scriptsize y_{\mathcal{P}}(x) = [ \int \frac{- y_2 \cdot r(x) }{ y_1 \cdot y_2^{\prime} - y_2 \cdot y_1^{\prime} } \, dx ] \cdot y_1(x) + [\int \frac{ y_ 1 \cdot r(x) }{ y_1 \cdot y_2' - y_2 \cdot y_1 ' } \, dx]\cdot y_2(x) } \]

Pontos fortes e limitações: O Método de Lagrange tem um aspecto de fórmula fechada e bastante geral. Mas tem uma limitação prática, pois envolve a operação de integração e podem aparecer integrais difíceis ou não-elementares.

Observação: Ao calcular as integrais nessa Afirmação não é preciso adicionar constantes de integração. O motivo é que essas constantes ficariam multiplicadas por soluções da equação homogênea ($y_1$ e/ou $y_2$) e não afetariam a solução da equação não-homogênea.

Lembramos que um método de alcance bem mais limitado, mas muito mais fácil de ser usado, foi explicado na Seção Método dos coeficientes a determinar para equações diferenciais não-homogêneas.
A generalização do Método de Lagrange para equações não-homogêneas de ordem superior está tratado e implementado na Seção Método de Lagrange ou Variação de parâmetros para equações de ordem superior dos Complementos ao Curso de Equações Diferenciais.




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02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
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19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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