Pontos fortes e limitações do método de coeficientes a determinar

Método dos coeficientes a determinar para equações diferenciais não-homogêneas


Trata-se de um método para encontrar uma solução de uma equação linear de segunda ordem a coeficientes constantes e não-homogênea:
\[ y^{\prime\prime} + p\cdot y^{\prime} + q\cdot y = r(x),\quad \mbox{onde}\quad r(x) \not\equiv 0\]
Será chamada de solução particular da equação e denotada
\[y_{\mathcal{P}}(x)\]
Pergunta: Por que basta encontrar apenas uma solução ?

Se encontrarmos uma solução para a equação não-homogênea \[ y^{\prime\prime} + p\cdot y^{\prime} + q\cdot y = r(x),\quad \mbox{onde}\quad r(x) \not\equiv 0\]em seguida teremos todas as outras soluções:
Afirmação: As soluções de \[y^{\prime\prime} + p\cdot y^{\prime} + q\cdot y = r(x),\quad r(x)\not\equiv 0\] são da forma \[ Y(x) = y_{\mathcal{P}}(x) + K_1\cdot y_1(x) + K_2\cdot y_2(x) ,\quad K_1,K_2\in \mathbb{R}\]onde $y_1(x)$ e $y_2(x)$ são soluções linearmente independentes da equação homogênea associada\[ y^{\prime\prime} + p\cdot y^{\prime} + q\cdot y = 0 \]


Exemplo 0: A equação diferencial não-homogênea
\[y^{\prime\prime} + y = C,\quad C\in \mathbb{R}\]
tem uma solução particular constante $y_{\mathcal{P}}(x) \equiv C$ e solução geral
\[y = C + K_1 \cos(t) + K_2 \sin(t)\]

As características do método que usaremos nesta Seção para determinar a solução particular $ y_{\mathcal{P}}(x) $ são:
Características do Método chamado de Coeficientes a Determinar:
i) só funciona se os coeficientes $p$ e $q$ da equação $y'' + p\cdot y' + q \cdot y(x) = r(x)$ forem ambos constantes,
ii) só funciona para tipos especiais de funções $r(x)$
iii) mas muito fácil de ser executado, pois só depende de derivar e resolver sistemas lineares, não usa integrais.

Se a equação tiver algum coeficiente variável $p(x)$ ou $q(x)$ ou se $r(x)$ é uma função complicada (ou seja, fora da lista que daremos mais adiante). Então deve-se usar os resultados da Seção Método de Lagrange ou Variação de Parâmetros para equações de segunda ordem .




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02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
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19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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