Apresenta a série de Livros-interativos da UFRGS
Equações Diferenciais
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
Método dos coeficientes a determinar para equações diferenciais não-homogêneas
Exercícios ( 11 )
Pontos fortes e limitações do método de coeficientes a determinar
Método dos coeficientes a determinar para equações diferenciais não-homogêneas
Trata-se de um método para encontrar uma solução de uma equação linear de segunda ordem a coeficientes constantes e não-homogênea:
\[ y^{\prime\prime} + p\cdot y^{\prime} + q\cdot y = r(x),\quad \mbox{onde}\quad r(x) \not\equiv 0\]
Será chamada de solução particular da equação e denotada
\[y_{\mathcal{P}}(x)\]
Pergunta: Por que basta encontrar apenas uma solução ?
Se encontrarmos uma solução para a equação não-homogênea \[ y^{\prime\prime} + p\cdot y^{\prime} + q\cdot y = r(x),\quad \mbox{onde}\quad r(x) \not\equiv 0\]em seguida teremos todas as outras soluções:
Afirmação: As soluções de \[y^{\prime\prime} + p\cdot y^{\prime} + q\cdot y = r(x),\quad r(x)\not\equiv 0\] são da forma \[ Y(x) = y_{\mathcal{P}}(x) + K_1\cdot y_1(x) + K_2\cdot y_2(x) ,\quad K_1,K_2\in \mathbb{R}\]onde $y_1(x)$ e $y_2(x)$ são soluções linearmente independentes da equação homogênea associada\[ y^{\prime\prime} + p\cdot y^{\prime} + q\cdot y = 0 \]
Exemplo 0: A equação diferencial não-homogênea
\[y^{\prime\prime} + y = C,\quad C\in \mathbb{R}\]
tem uma solução particular constante $y_{\mathcal{P}}(x) \equiv C$ e solução geral
\[y = C + K_1 \cos(t) + K_2 \sin(t)\]
\[y^{\prime\prime} + y = C,\quad C\in \mathbb{R}\]
tem uma solução particular constante $y_{\mathcal{P}}(x) \equiv C$ e solução geral
\[y = C + K_1 \cos(t) + K_2 \sin(t)\]
As características do método que usaremos nesta Seção para determinar a solução particular $ y_{\mathcal{P}}(x) $ são:
Características do Método chamado de Coeficientes a Determinar:
i) só funciona se os coeficientes $p$ e $q$ da equação $y'' + p\cdot y' + q \cdot y(x) = r(x)$ forem ambos constantes,
ii) só funciona para tipos especiais de funções $r(x)$
iii) mas muito fácil de ser executado, pois só depende de derivar e resolver sistemas lineares, não usa integrais.
i) só funciona se os coeficientes $p$ e $q$ da equação $y'' + p\cdot y' + q \cdot y(x) = r(x)$ forem ambos constantes,
ii) só funciona para tipos especiais de funções $r(x)$
iii) mas muito fácil de ser executado, pois só depende de derivar e resolver sistemas lineares, não usa integrais.
Se a equação tiver algum coeficiente variável $p(x)$ ou $q(x)$ ou se $r(x)$ é uma função complicada (ou seja, fora da lista que daremos mais adiante). Então deve-se usar os resultados da Seção Método de Lagrange ou Variação de Parâmetros para equações de segunda ordem .
Cursos
|
Equações Diferenciais
|
Aulas
| 01 Motivações |
| 02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções |
| 03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas |
| 09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard |
| 11 Equações Exatas e Critério de Euler |
| 12 Fatores de Integração |
| 13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações |
| 14 Equações de Bernoulli |
| 15 Crescimento Populacional e Função Logística |
| 16 Conferir minha resposta |
| 17 Equações de Primeira ordem Autônomas |
| 26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes |
| 27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores |
| 28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores |
| 29 Método de Aproximação de Euler |
| 30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem |
| 31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs |
| 32 Referências |