Equacionar a variação de uma grandeza

A idéia de Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e de Soluções


Vimos no Cálculo Diferencial que a variação instantânea de uma grandeza $y(x)$ é a sua função derivada \[y^{\prime}(x)\] Se pensarmos que $x$ é o tempo, $y^{\prime}(x)$ é a velocidade no instante $x$.
Por exemplo, se $y(x)$ é a população de uma espécie no instante $x$, então $y^{\prime}(x) > 0$ indica que há crescimento dessa população e $y^{\prime}(x) < 0$ indica, ao contrário, que a população está em declínio.
Continuando com esse exemplo, podemos nos perguntar: do que depende a variação da população ? Em geral depende de diversos fatores, mas numa situação paradisíaca, como a de coelhos que foram instalados numa verdejante ilha, livre de predadores, pode-se propôr como modelo matemático:
Afirmação 1: O crescimento populacional na ausência de predadores e em condições ótimas verifica\[ y^{\prime}(x) = k \cdot y(x) \]onde $k> 0$ é uma constante (que depende da espécie).

Note que nessa equação o que fizemos foi igualar a variação de $y(x)$ com um múltiplo $k$ da própria quantidade $y(x)$. Ou seja, equacionamos a variação ou derivada. Fizemos assim uma equação diferencial.
Esta é uma importante equação diferencial, a qual é simples o suficiente para ser resolvida em seguida no nosso Curso (por exemplo, Seção Equações diferenciais lineares de primeira ordem a coeficientes constantes).
O exemplo default da Interação a seguir mostra diversas soluções de
\[y^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \cdot y(x)\]
correspondendo a diferentes condições iniciais $y(0) = y_0$:





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01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
06 Equações Separáveis da Cinética Química
07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
14 Equações de Bernoulli
15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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