Equacionar a variação de uma grandeza

A idéia de Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e de Soluções

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Vimos no Cálculo Diferencial que a variação instantânea de uma grandeza $y(x)$ é a sua função derivada \[y^{\prime}(x)\] Se pensarmos que $x$ é o tempo, $y^{\prime}(x)$ é a velocidade no instante $x$.
Por exemplo, se $y(x)$ é a população de uma espécie no instante $x$, então $y^{\prime}(x) > 0$ indica que há crescimento dessa população e $y^{\prime}(x) < 0$ indica, ao contrário, que a população está em declínio.
Continuando com esse exemplo, podemos nos perguntar: do que depende a variação da população ? Em geral depende de diversos fatores, mas numa situação paradisíaca, como a de coelhos que foram instalados numa verdejante ilha, livre de predadores, pode-se propôr como modelo matemático:

Note que nessa equação o que fizemos foi igualar a variação de $y(x)$ com um múltiplo $k$ da própria quantidade $y(x)$. Ou seja, equacionamos a variação ou derivada. Fizemos assim uma equação diferencial.
Esta é uma importante equação diferencial, a qual é simples o suficiente para ser resolvida em seguida no nosso Curso (por exemplo, Seção Equações diferenciais lineares de primeira ordem a coeficientes constantes).
O exemplo default da Interação a seguir mostra diversas soluções de
\[y^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \cdot y(x)\]
correspondendo a diferentes condições iniciais $y(0) = y_0$:

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