Quando os Cálculos mostram para que servem
Motivações para o estudo das Equações Diferenciais
Newton e Leibniz não inventaram os Cálculos (Diferencial e Integral) apenas como uma nova linguagem, mas como uma nova ferramenta.
Uma ferramenta que serviu para resolver problemas Matemáticos e da Física, ou melhor, da Física-Matemática.
Se pudéssemos resumir em poucas palavras o que é a Teoria de Equações Diferenciais, poderíamos dizer que é um complemento à observação fundamental de Heráclito (ca. 500 A.C.) de que "Tudo muda com o tempo":
Vale a pena modelar quanto varia no tempo uma grandeza $f(t)$.
Do Cálculo Diferencial, sabemos que a taxa de variação instantânea é medida pela
derivada $ f^{\prime}(t)$. E que $f^{\prime}(t) >0$ indica crescimento de $f(t)$, enquanto que $f^{\prime}(t) < 0$ indica decrescimento.
Então um exemplo de equação diferencial poderia ser:
\[f^{\prime}(t) = - f(t)\]
O que indica essa equação ? Se $f(t) >0$ for grande, também seria grande a taxa de decrescimento da quantidade $f(t)$. Será que existe algum tipo de substância que veriifica esse esse tipo equação? Sim, as substâncias radioativas: por isso devemos nos afastar de um kilo de Urânio, mas podemos manipular pequeníssimas quantidades em laboratório.
Do Cálculo Integral, sabemos que passagem de $f^{\prime}(t)$ para $f(t)$ é o processo de
integração.
Por isso, pode-se usar como sinônimo de "resolver uma equação diferencial " a expressão "integrar uma equação diferencial".
Acionando a tecla Interação a seguir, veremos as soluções da equação acima (ou de outras equações do mesmo tipo):
Ao longo deste Curso de
Equações Diferenciais:
Daremos modelos para o crescimento populacional, juros compostos aplicados, esfriamento, elasticidade e amortecimentos, entre outros. E veremos uma variedade de técnicas de resolução (integração) de equações diferenciais.
Apesar do sucesso em resolver exatamente muitas equações diferenciais importantes, não demora para percebemos que:
É mais fácil modelar um fenômeno através de uma equação diferencial do que resolver a equação diferencial obtida. Quanto mais fina e realista for a modelagem, mais complicada a equação e menor a chance de a resolvermos.
Surge então o caminho de aproximar soluções, iniciado por Euler (1707-1783), que explicaremos neste Curso. Seus desenvolvimentos contemporâneos fazem parte do chamado Cálculo Numérico, de valor inestimável nas aplicações Físicas e nas Engenharias.
Bons estudos e boas primeiras aplicações dos Cálculos !