Quando os Cálculos mostram para que servem

Motivações para o estudo das Equações Diferenciais



Newton e Leibniz não inventaram os Cálculos (Diferencial e Integral) apenas como uma nova linguagem, mas como uma nova ferramenta.

Uma ferramenta que serviu para resolver problemas Matemáticos e da Física, ou melhor, da Física-Matemática.
Se pudéssemos resumir em poucas palavras o que é a Teoria de Equações Diferenciais, poderíamos dizer que é um complemento à observação fundamental de Heráclito (ca. 500 A.C.) de que "Tudo muda com o tempo":
Vale a pena modelar quanto varia no tempo uma grandeza $f(t)$.

Do Cálculo Diferencial, sabemos que a taxa de variação instantânea é medida pela derivada $ f^{\prime}(t)$. E que $f^{\prime}(t) >0$ indica crescimento de $f(t)$, enquanto que $f^{\prime}(t) < 0$ indica decrescimento.
Então um exemplo de equação diferencial poderia ser:
\[f^{\prime}(t) = - f(t)\]

O que indica essa equação ? Se $f(t) >0$ for grande, também seria grande a taxa de decrescimento da quantidade $f(t)$. Será que existe algum tipo de substância que veriifica esse esse tipo equação? Sim, as substâncias radioativas: por isso devemos nos afastar de um kilo de Urânio, mas podemos manipular pequeníssimas quantidades em laboratório.
Do Cálculo Integral, sabemos que passagem de $f^{\prime}(t)$ para $f(t)$ é o processo de integração.
Por isso, pode-se usar como sinônimo de "resolver uma equação diferencial " a expressão "integrar uma equação diferencial".

Acionando a tecla Interação a seguir, veremos as soluções da equação acima (ou de outras equações do mesmo tipo):

Ao longo deste Curso de Equações Diferenciais:
Daremos modelos para o crescimento populacional, juros compostos aplicados, esfriamento, elasticidade e amortecimentos, entre outros. E veremos uma variedade de técnicas de resolução (integração) de equações diferenciais.

Apesar do sucesso em resolver exatamente muitas equações diferenciais importantes, não demora para percebemos que:
É mais fácil modelar um fenômeno através de uma equação diferencial do que resolver a equação diferencial obtida. Quanto mais fina e realista for a modelagem, mais complicada a equação e menor a chance de a resolvermos.

Surge então o caminho de aproximar soluções, iniciado por Euler (1707-1783), que explicaremos neste Curso. Seus desenvolvimentos contemporâneos fazem parte do chamado Cálculo Numérico, de valor inestimável nas aplicações Físicas e nas Engenharias.
Bons estudos e boas primeiras aplicações dos Cálculos !





Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
06 Equações Separáveis da Cinética Química
07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
14 Equações de Bernoulli
15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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