A queda vertical modelada por equações diferenciais

Queda livre e arremessos com ou sem atrito



No dia-a-dia de certo modo comprovamos a toda hora a idéia de que coisas pesadas caem mais rapidamente que coisas mais leves: por exemplo, deixando cair ao mesmo tempo uma folha de papel e uma bola de bilhar.
Diz a lenda que Galileu Galilei soltou duas esferas de pesos bem diferentes do alto da Torre de Pisa: surpresa ! chegaram ao solo ao mesmo tempo.
A referência Estudios Galileanos, A. Koyré explica detalhadamente os esforços de Galileu (além de Descartes e de outros) para entender como se dá o aumento de velocidade numa queda, de modo quantitativo e exato.
O que Galileu conseguiu ao usar objetos esféricos foi diminuir muito a força de atrito.
A equação diferencial associada ao experimento de Galileu pode ser escrita incialmente como:
\[F = m \cdot y^{\prime\prime} = - m \cdot g,\]
onde $m$ é a massa e $ g$ aproximadamente $9.8$ $\mbox{m}/\mbox{seg}^2$.

O sinal negativo deve-se ao fato de que o eixo $y$ escolhido tem origem na superfície - ao nível do mar - e aponta para cima, por isso a gravidade atua no sentido de diminuir a coordenada $y$.
Mas, se houvesse atrito, - que é a situação usual no dia-a-dia- teríamos outro modelo:
\[ F = m \cdot y^{\prime\prime} = - m \cdot g - f(y^{\prime}),\]

onde \[f(y^{\prime}) > 0\] é uma função que representa o atrito, o qual depende da velocidade \[y^{\prime}\] e, em geral, também de características (aerodinâmicas) do objeto.
O ponto de vista mais realista, que inclui o atrito, parece ter sido o de Aristóteles, que previa quedas com diferentes velocidades.

Depois do estudo conceitual dessas equações , apresentaremos uma Interação que tem estilo de um jogo: decide-se o instnate de abertura do paraquedas - ou seja, de introdução do atrito - e a animação mostra onde se vai cair.

O vídeo a seguir comemora a disputa entre Aristóteles e Galileu. Ao longo deste Tópico vamos explicar a matemática que está envolvida:




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01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
06 Equações Separáveis da Cinética Química
07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
14 Equações de Bernoulli
15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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