Resolução de Sistemas de Equações Diferenciais

Sistemas de Equações Diferenciais, Método de Polinômios de Operadores e Lei de Hooke

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Nesta Seção estamos interessados em resolver sistemas de equações diferenciais sobre funções da variável $t$:

Sistemas de equações lineares de primeira ordem do tipo\[\begin{cases} x^{\prime} = a\cdot x + b\cdot y \\ y^{\prime} = c\cdot x + d\cdot y \end{cases}\]
definem campos vetoriais lineares no plano, enquanto que os do tipo
\[\begin{cases} x^{\prime} = a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z \\ y^{\prime} = d\cdot x + e\cdot y + f\cdot z\\ z^{\prime} = g\cdot x + h\cdot y + j\cdot z \end{cases},\quad a,b, \ldots , j \in R\] definem campos vetoriais no espaço.
Serão resolvidos pelo método de autovalores e autovetores na Seção Campos vetoriais lineares no plano e na Seção Campos vetoriais lineares no espaço do Curso Complementos às Equações Diferenciais.

Para sistemas de equações diferenciais que envolvem alguma equação de ordem $2$ ou maior, existem duas possibilidades de de resolução:

Nos primeiros parágrafos vamos abordar a alternativa i). Mais adiante, veremos a alternativa ii).
A primeira idéia para abordar a alternativa i) é exemplificada assim:


Porém, no sistema de equações diferenciais para $x(t), y(t)$:

não fica claro como substituir uma equação na outra, para produzir uma equação de ordem superior apenas em $x(t)$ (ou apenas em $y(t)$).
No próximo parágrafo vamos apresentar uma idéia diferente para resolvê-lo.
Tudo começará com uma analogia, mas que depois vira um verdadeiro método de resolução.

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