Resolução de Sistemas de Equações Diferenciais

Sistemas de Equações Diferenciais, Método de Polinômios de Operadores e Lei de Hooke


Nesta Seção estamos interessados em resolver sistemas de equações diferenciais sobre funções da variável $t$:
\[ x(t), \quad y(t),\quad z(t)\]

Sistemas de equações lineares de primeira ordem do tipo\[\begin{cases} x^{\prime} = a\cdot x + b\cdot y \\ y^{\prime} = c\cdot x + d\cdot y \end{cases}\]
definem campos vetoriais lineares no plano, enquanto que os do tipo
\[\begin{cases} x^{\prime} = a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z \\ y^{\prime} = d\cdot x + e\cdot y + f\cdot z\\ z^{\prime} = g\cdot x + h\cdot y + j\cdot z \end{cases},\quad a,b, \ldots , j \in R\] definem campos vetoriais no espaço.
Serão resolvidos pelo método de autovalores e autovetores na Seção Campos vetoriais lineares no plano e na Seção Campos vetoriais lineares no espaço do Curso Complementos às Equações Diferenciais.

Para sistemas de equações diferenciais que envolvem alguma equação de ordem $2$ ou maior, existem duas possibilidades de de resolução:
Afirmação (Dois caminhos de resolução)
i) produzir uma equação diferencial de ordem superior a dois, para apenas uma das funções $x(t)$ (ou $y(t)$ ou $z(t)$)
ii) produzir um sistema de equações de ordem $1$ em dimensão mais alta.

Nos primeiros parágrafos vamos abordar a alternativa i). Mais adiante, veremos a alternativa ii).
A primeira idéia para abordar a alternativa i) é exemplificada assim:
Afirmação: Um sistema como \[ \begin{cases} y^{\prime\prime} + x + 2\cdot y = 0 \\ x^{\prime} + x + 3\cdot y^{\prime} = 0 \end{cases} \] pode ser resolvido por substituição direta de uma equação na outra.


Porém, no sistema de equações diferenciais para $x(t), y(t)$:
\[\begin{cases} x^{\prime\prime} + 3 y^{\prime} = 4 x \\x^{\prime} + y^{\prime\prime} = 2 y \end{cases}\]

não fica claro como substituir uma equação na outra, para produzir uma equação de ordem superior apenas em $x(t)$ (ou apenas em $y(t)$).
No próximo parágrafo vamos apresentar uma idéia diferente para resolvê-lo.
Tudo começará com uma analogia, mas que depois vira um verdadeiro método de resolução.
As Interações desta Seção resolvem esses e muitos outros sistemas de equações diferenciais.





Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
06 Equações Separáveis da Cinética Química
07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
14 Equações de Bernoulli
15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

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