Transformar um problema prático em uma Equação Diferencial

(Material Suplementar) Gradientes e um tipo de GPS para montanhistas e robôs


Quando um montanhista parte numa escalada ele pode contar com a ajuda de um mapa de curvas do relevo.
Em termos matemáticos, trata-se de um mapa de curvas de nível \[F(x,y)= k,\quad k\in \mathbb{R}\] da função $F(x,y)$ que mede a altura da montanha em cada ponto $(x,y)$ (dado por latitude/longitude).
O montanhista pode estar interessado em determinar, em cada etapa de sua subida, qual a direção mais íngreme, seja para segui-la ou para evitá-la.

Na Seção Curvas e Superfícies de Nível, Derivadas Parcial e Direcional e Gradiente do Curso de Cálculo Diferencial em mais variáveis, explicamos em detalhe que:
Afirmação 1: O gradiente $\nabla F(x,y)$ de uma função $F(x,y)$ é um vetor que aponta qual a direção e sentido de crescimento máximo da função $F$ no ponto $(x,y)$.

Veremos aqui nesta Seção
Como determinar trajetos que saem de um ponto dado e que seguem a direção mais íngreme em cada um de seus pontos.

Ou seja, determinaremos (aproximações das ) curvas integrais do campo de gradientes de $F$.
Com isso teremos uma espécie de GPS que informará qual o caminho mais íngreme.

Em Robótica existe o chamado método de descida por gradientes. Consiste em criar um relevo fictício que coloca obtáculos "no alto" e objetivos "em baixo".
O robô deve seguir o campo de vetores oposto ao gradiente da função $z= F(x,y)$ que descreve o relevo
\[ - \nabla F(x,y)\]
Seguindo trajetórias aproximadas do campo $- \nabla F(x,y)$ o robô vai estar "descendo" quando se dirige ao objetivo a ser alcançado.

Na Interação a seguir usamos uma função de grau $4$ com um vale um vale e quatro montes:





Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Modelar a Variação, Tipos de Equações Diferenciais e tipos de Soluções
03 Conceitos Iniciais: Campos de Direções, Soluções Exatas e Isóclinas
04 Equações Separáveis
05 Equações Homogêneas de grau zero
06 Equações Separáveis da Cinética Química
07 Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
08 Lei de Esfriamento de Newton
10 Problemas de Mistura e Diluição
09 Existência, unicidade de Soluções e Aproximações de Picard
11 Equações Exatas e Critério de Euler
12 Fatores de Integração
13 Equações Diferenciais Lineares gerais e primeiras Aplicações
14 Equações de Bernoulli
15 Crescimento Populacional e Função Logística
16 Conferir minha resposta
17 Equações de Primeira ordem Autônomas
18 Queda livre e Arremessos com ou sem Atrito
19 Equações Diferenciais de Segunda ordem sem $y(x)$
20 Equações de Segunda ordem Autônomas
21 Lineares de Segunda Ordem a coeficientes constantes, PVI e Fronteira
22 Lei de Hooke e Amortecimentos
23 Método de D'Alembert (Redução de ordem) para Eq. Lineares Homogêneas
24 Método dos Coeficientes a Determinar para Equações Lineares Não-Homogêneas
25 Método de Lagrange (Variação de Parâmetros) para Eq. Lineares não-homogêneas
26 Equações Lineares de Ordem Superior a coeficientes constantes
27 Sistemas de Equações Diferenciais e Polinômios de Operadores
28 Campos Vetoriais Lineares no Plano e Método de Autovalores
29 Método de Aproximação de Euler
30 Método de Euler adaptado a Campos e P.V.I. Segunda Ordem
31 Um tipo de GPS para montanhistas e robôs
32 Referências

Tópicos