Transformar um problema prático em uma Equação Diferencial

Apresenta a série de Livros-interativos da UFRGS

Transformar um problema prático em uma Equação Diferencial

(Material Suplementar) Gradientes e um tipo de GPS para montanhistas e robôs

Quando um montanhista parte numa escalada ele pode contar com a ajuda de um mapa de curvas do relevo.
Em termos matemáticos, trata-se de um mapa de curvas de nível \[F(x,y)= k,\quad k\in \mathbb{R}\] da função $F(x,y)$ que mede a altura da montanha em cada ponto $(x,y)$ (dado por latitude/longitude).

O montanhista pode estar interessado em determinar, em cada etapa de sua subida, qual a direção mais íngreme, seja para segui-la ou para evitá-la.

Na Seção Curvas e Superfícies de Nível, Derivadas Parcial e Direcional e Gradiente do Curso de Cálculo Diferencial em mais variáveis, explicamos em detalhe que:

Afirmação 1: O gradiente $\nabla F(x,y)$ de uma função $F(x,y)$ é um vetor que aponta qual a direção e sentido de crescimento máximo da função $F$ no ponto $(x,y)$.

Veremos aqui nesta Seção

Como determinar trajetos que saem de um ponto dado e que seguem a direção mais íngreme em cada um de seus pontos.

Ou seja, determinaremos (aproximações das ) curvas integrais do campo de gradientes de $F$.

Com isso teremos uma espécie de GPS que informará qual o caminho mais íngreme.

Em Robótica existe o chamado método de descida por gradientes. Consiste em criar um relevo fictício que coloca obtáculos "no alto" e objetivos "em baixo".
O robô deve seguir o campo de vetores oposto ao gradiente da função $z= F(x,y)$ que descreve o relevo
\[ - \nabla F(x,y)\]

Seguindo trajetórias aproximadas do campo $- \nabla F(x,y)$ o robô vai estar "descendo" quando se dirige ao objetivo a ser alcançado.

Na Interação a seguir usamos uma função de grau $4$ com um vale um vale e quatro montes: