Recuperar a função a partir de sua Transformada de Fourier

Transformada Inversa de Fourier


O objetivo desta Seção é justificar, exemplificar e implementar a fórmula que permite recuperar $f(t)$ a partir de sua Transformada de Fourier:
Fórmula de Inversão de Fourier: Sejam $f(t)$ função contínua e $F(w)$ sua Transformada de Fourier. Então vale
\[f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(w) \cdot e^{i \, t \, w}\, dw\]

Alertamos que essa fórmula não é uma mera definição. E também que a fórmula não decorre de modo trivial de uma mudança de ordem de integração, a menos que se aceite trabalhar com integrais não-convergentes (Distribuições).
Vamos justificar essa importante fórmula através de um processo limite: definiremos funções
\[f_{\epsilon} (t) := \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{ \epsilon^2 w^2}{2}} \cdot F(w) \cdot e^{i t w}\, dw,\quad \epsilon > 0 \]

e explicaremos, ao longo desta Seção, em que sentido vale:
\[ \lim_{\epsilon \to 0} f_{\epsilon} (t) = f(t) \]

Mas note que as Gaussianas \[y= e^{-\frac{ \epsilon^2 w^2}{2} }\] se aparecem cada vez mais com a função $\equiv 1$, quando $\epsilon \to 0$. Como mostra a Interação a seguir:

Por isso os gráficos de \[y= e^{-\frac{ \epsilon^2 w^2}{2} }\cdot F(w)\] se parecem cada vez mais com os gráficos de $y=F(w)$, quando $\epsilon \to 0$. Como mostra a Interação a seguir:

Portanto justificar o limite \[ \lim_{\epsilon \to 0} f_{\epsilon} (t) = f(t) \] será justificar a validade da Fórmula de Inversão de Fourier.
No final da Seção, daremos Interações que permitem calcular diversas Transformadas Inversas de Fourier.




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