Utilidade das Transformadas de Fourier na equação da onda

Transformadas de Fourier e Fórmula de D'Alembert para vibrações


Nesta Seção retomamos o tema da Seção Fórmula de D'Alembert para a vibração da corda infinita do Curso Complementos às Equações Diferenciais.
Mas usaremos uma técnica bem diferente para resolver o chamado:
Problema (de Cauchy): Determinar a função deslocamento vertical $y(x,t)$ de uma corda infinita que satisfaz:\[\begin{cases} \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial t^2 } = k^2\cdot \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial x^2 }\\y(x,0) = f(x) \quad \mbox{e}\quad \frac{ \partial y(x,0)}{ \partial t} = g(x)\end{cases}\]para \[ -\infty < x < +\infty\quad \mbox{e}\quad t >0\]

Usaremos o efeito das Transformadas de Fourier sobre a equação diferencial da onda
\[\frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial t^2 } = k^2\cdot \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial x^2 }\]
Veremos que o uso de Transformadas de Fourier leva a equação da onda (parcial, de segunda ordem) em uma equação diferencial ordinária, linear de segunda ordem, dependendo de um parâmetro.

O resultado dirá que a vibração da corda infinita pode ser expressa como superposição de duas ondas que viajam em sentidos opostos, o que será ilustrado em Interações.




Cursos

Tópicos