Conceitos abstratos tornam-se concretos e úteis

Motivações para a Análise de Fourier


Apesar de ser o mais avançado, este Curso é o único que destaca em seu título o caráter introdutório:
É que a Análise de Fourier é um tema tão vasto e tão cheio de aplicações, que tudo que veremos - e que não é pouco - ainda é apenas uma introdução.

Começamos lembrando uma experiência real. Carpinteiros serravam madeira e batiam pregos, serralheiros cortavam latas, máquinas cortavam azulejos. Um barulho infernal era gerado por uma reforma e, em meio a essa algazarra, um cachorro dormia profundamente.
Porém, quando um sabiá bicou seu pote de ração, fazendo um fraquíssimo barulho metálico, o cachorro despertou sobressaltado e correu atrás do passarinho.
Como foi possível acordá-lo com um ruído de tão pouca intensidade, no meio de uma barulheira infernal ?

Veremos neste Curso de Introdução à Análise de Fourier que o que é determinante nessa experiência é a frequência: os ouvidos dos animais fazem algum tipo de análise de frequências dos sons. E a seleção darwiniana se encarrega de selecionar quais frequências interessam mais a cada espécie animal.
Neste Curso conceitos abstratos como integrais impróprias complexas ganham aplicações concretas. Ao final do Curso essas noções adquirem versões discretizadas e efetivamente computáveis.
O conceito central deste deste Curso é a Transformada de Fourier. Esse operador tem inúmeras aplicações tecnológicas quando posto em sua versão discretizada chamada de Transformada Rápida de Fourier ou FFT ("Fast Fourier Transformation").
Podemos mencionar algumas dessas aplicações:
Acústica, processamento e compactação de imagens e sinais, em Astronomia, em tomografia e ressonância magnética nuclear, no sensoriamente remoto, em cristalografia e, recentemente, na detecção de ondas gravitacionais.

Ou seja, queremos mostrar que:
Vale a pena estudar uma teoria que se desenvolveu incrivelmente, a partir do trabalho pioneiro de Fourier no século XIX, e que tem inúmeras aplicações no século XXI !

Por último, mas não menos importante, a Análise de Fourier é linguagem e fundamento matemáticos para a Física-Quântica, como mostra o quadro a seguir (cf. Seção Princípio da Incerteza das Transformadas de Fourier ):
Dicionário Fourier - Quântico:\[\scriptsize{\begin{array}{|c|c|}\hline \mbox{Conceito da Análise de Fourier}& \mbox{Conceito da Física Quântica } \\ \hline \mbox{tempo} \, t & \mbox{posição} \, x \\ \hline f(t) & f(x) \, \mbox{função de onda} \, \\ \hline f^2(t) & |f(x)|^2 \,\mbox{densidade de probabilidade} \\ \hline \int_{-\infty}^{+\infty} f^2(t)\, dt = 1 & \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2\, dtx= 1 \,\mbox{probabilidade total} \\ \hline w \, \mbox{número de onda/frequência} & p \,\mbox{momento} \\\hline F(w) := \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{- i t w } dt & F(p) := \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \hbar }} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{- i x \frac{p}{\hbar} } dx \\ \hline \,\mbox{Princípio de Incerteza:} & \,\mbox{Princípio de Incerteza:} \\ \Delta^2(f) \cdot \Delta^2(F) \geq \frac{\pi}{2} & \Delta^2(f) \cdot \Delta^2(F) \geq \frac{\hbar^2}{4} \\ \hline \end{array}}\]





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