Adaptação da Convolução na Análise de Fourier

Convoluções no contexto da Transformada de Fourier



Ao longo do Curso Transformadas de Laplace e Aplicações vimos a importância do produto de convolução
Agora faremos uma adaptação desse conceito, para o contexto das Transformadas de Fourier, e veremos que se trata de uma operação fundamental, rica em aplicações.
A última linha do quadro comparativo a seguir - a ser justificada na Seção Transformadas de Fourier de produto de convolução e produto usual - já indica que a operação de convolução torna-se ainda mais perfeita:
Convoluções em Laplace e Fourier:\[\scriptsize{\begin{array}{|c|c|}\hline \mbox{Laplace}& \mbox{Fourier} \\ \hline f*g \, (t) = \int_0^t\, f(\tau) g(t-\tau) \,d\tau & f*g\, (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \, f(\tau) g(t-\tau) \,d\tau \\ \hline --------- & (f*g)^{\prime}(t) = f^{\prime}(t) * g(t) = f (t)* g^{\prime}(t) \\ \hline f * 1 = \int f\, dt \,\mbox{(primitiva)} & f * 1 = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, dt \in \mathbb{R} \\\hline f * \delta = f & f * \delta = f \\\hline \mathcal{L}(f *g) = \mathcal{L}(f) \cdot \mathcal{L}(g) & \mathcal{F}(f *g) = \mathcal{F}(f) \cdot \mathcal{F}(g) \\ \hline --------- & \mathcal{F}(f \cdot g) = \frac{1}{2 \pi}\cdot \mathcal{F}(f) * \mathcal{F}(g) \\\hline \end{array}}\]
onde $--$ indica que não há a propriedade e onde $ \mathcal{F}(f) * \mathcal{F}(g)$ é convolução no eixo $w$.

Na Teoria de Laplace as funções são definidas na semireta $f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}$, enquanto que no contexto de Fourier usamos funções definidas em toda a reta $(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$; daí o interesse em integrar em toda reta:
Definição (Convolução no contexto de Fourier) Dadas $f(t)$ e $g(t)$ funções integráveis, definimos uma nova função $f * g$ chamada de convolução como:\[(f*g)\, (t) := \int_{-\infty}^{+\infty} \, f(\tau)\cdot g(t-\tau)\, d\tau\]

Nos próximos parágrafos veremos o sentido geométrico da operação de convolução; analisaremos quando existe a convolução $f*g$ (nem sempre uma integral imprópria converge); veremos como derivar a convolução $(f * g)(t)$.
As Interações permitirão plotar gráficos de convoluções e gerar animações para entender a operação de convolução.





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