A Integral de Fourier

Transformada de Fourier e exemplos fundamentais limitados no tempo



Na Seção Espectroscopia de Infravermelho baseada na Transformada de Fourier vimos como revelar o espectro de frequências de um interferograma $f(t)$ através de uma integral do tipo
\[ I(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty } \, f(t) \cos( \nu t) \, dt\]
onde a variável $\nu$ é um contínuo de números de ondas.
Esta integral é uma das motivações para a definição da protagonista deste Curso:
Definição 1 (Transformada de Fourier): Dada uma função $f(t)$ definida em toda reta $\mathbb{R}$, sua Transformada de Fourier é a integral (dependente do parâmetro $\nu$):
\[F(\nu) := \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot e^{-\, i \nu \, t} dt\]




Outra motivação para a Definição 1 acima vem da representação das séries de Fourier dada na Seção Forma Exponencial da Série de Fourier e Espectros de Amplitude e Fase.
Naquela seção uma função $2L$-periódica se expressava por
\[ \sum_{ -\infty}^{+\infty} C_n \cdot e^{i\, \frac{n \pi}{L} \, t},\quad n \in \mathbb{Z} \] onde \[C_n = \frac{1}{2 L} \, \int_{-L}^{L} f(t) \, e^{- \,i \frac{n \pi}{L}\, t},\quad \forall n\in \mathbb{Z}\]
Os valores $| C_n | $ dizem quanto entra da frequência $ \frac{n \pi}{L} $ na composição da função $f(t)$. Agora esses valores discretos $| C_n |$ dão lugar à função contínua de $\nu$ (número de onda):
\[ F(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot e^{-\, i \nu \, t} dt \]
É preciso salientar que somente funções periódicas têm séries de Fourier. Enquanto que fenômenos que não são periódicos - como ruidos ou barulhos - podem ter Transformada de Fourier.

Nos próximos parágrafos veremos exemplos fundamentais.
Interações calcularão as Transformadas de Fourier e mostrarão os gráficos de suas partes Real e Imaginária.





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