Propriedade útil das Transformadas de Fourier

A importante propriedade de Dualidade da Transformada de Fourier



Dualidade é um conceito que se usa em Matemática quando é permitido trocar termos entre si e manter a verdade de algum fato. Por exemplo, existe uma Geometria - chamada de Geometria Projetiva - em que sempre duas retas no plano se intersectam (ou seja, não há paralelas).
Nesse plano projetivo é permitido passar do fato
Dois pontos determinam uma única reta

para o fato
Duas retas determinam um único ponto

trocando as palavras "ponto" por "reta", "intersectam" por "determinar".
Considere agora \[F(w) = \mathcal{F}( f(t) )\] uma Transformada de Fourier. Podemos usar a lei que define $F(w)$ na variável $t$ e surge a pergunta natural:
Qual a relação entre
\[ \mathcal{F}( f(t) ) = F(w) \quad\mbox{e}\quad \mathcal{F}( F(t) )\quad\mbox{?}\]
Será que vale a perfeita dualidade
\[ \mathcal{F}( f(t) ) = F(w) \quad\mbox{e}\quad \mathcal{F}( F(t) ) = f(w) \quad \mbox{?}\]

Estabeleceremos nesta Seção uma versão mais fraca de dualidade entre Transformadas de Fourier, mas que mesmo assim será muito útil.
Por exemplo, uma aplicação dessa dualidade fraca será a obtenção imediata da Transformada de Fourier da função $\mbox{sinc}(t)$:
\[\mathcal{F} ( \frac{\sin(t)}{t} ) \]
sem precisar calcular explicitamente a complicada integral
\[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} e^{- i w t}\, dt \quad \mbox{!}\]
Com a propriedade de dualidade, no final desta Seção justificaremos o fato que
\[\mathcal{F}( f \cdot g ) = \frac{1}{2 \pi} \mathcal{F}(f) * \mathcal{F}(g)\]

que não foi provado na Seção Transformadas de Fourier de produto de convolução e produto usual.




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