Informações que se preservam com as Transformadas de Fourier

Teorema de Parseval-Rayleigh para Transformadas de Fourier


Como já observamos em muitos exemplos e exercícios ao longo deste Curso, a lei que define a Transformada de Fourier $F(w)$ em geral é completamente diferente da lei que define a função de partida $f(t)$.
Porém o resultado central desta Seção dirá que, mesmo assim, a Transformada de Fourier preserva bastante informação da função $f(t)$ de partida:
Afirmação 1 (Teorema de Parseval-Rayleigh) Seja $f(t)$ a valores reais com $\int_{ -\infty}^{+\infty} f^2(t) \,dt < +\infty$ e seja $F(w)$ sua Transformada de Fourier. Então
\[ \int_{ -\infty}^{+\infty} f^2(t) \,dt = \frac{1}{2 \pi} \cdot \int_{ -\infty}^{+\infty} |F(w)|^2 \,dw\]

O objetivo da Seção é provar esse Teorema, que tem muitas aplicações práticas no cálculo de integrais impróprias.
O Teorema de Parseval-Rayleigh terá uma consequência teórica importantíssima, ques erá explicada na Seção Princípio da Incerteza das Transformadas de Fourier .




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