Números Complexos para simplificar Séries de Fourier

Forma Exponencial da Série de Fourier e Espectros de Amplitude e Fase


É surpreendente que que números "imaginários" tenham tanta utilidade em aplicações concretas.
Nesta Seção vamos obter uma expressão das séries de Fourier que usa os números complexos. Além de ficar em forma mais compacta, servirá de motivação para a chamada Transformada de Fourier.

Na base de tudo, está a seguinte expressão da exponencial complexa:
Afirmação 1 (Fórmula de Euler): Vale
\[e^{i\, t} = \cos(t) + i \sin(t),\quad i = \sqrt{-1}\]


Outra forma de expressar a Afirmação 1 é:
Afirmação $1^{\prime}$
\[\begin{cases} \cos(t) = \frac{e^{i\,t } + e^{- i\, t}}{2} \\ \\ \sin(t) = \frac{e^{i\,t } - e^{- i\, t}}{2\, i} \end{cases}\]

Nesta Seção vamos expressar os resultados da Seção Introdução às Séries de Fourier do Curso de Equações Diferencias em mais variáveis e Séries em termos de exponenciais complexas.
Lembramos:
Afirmação 2 (Teorema de Fourier) : Seja $y= f(t)$ função $2 L$-periódica, contínua por partes e derivável por partes. Então:\[\frac{f(t+) + f(t-)}{2} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} [a_n \cdot \cos(\frac{n \pi}{L} \, t) + b_n\cdot \sin(\frac{n \pi}{L} t )]\]onde $f(t+)$ e $f(t-)$ são limites laterais em $t$ e \[\begin{cases}\,\frac{a_0}{2} := \frac{1}{2 L} \int_{-L}^{L} f(t) \, dt \\ a_n := \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi}{L} \cdot x) \, dx,\quad \forall n\in \mathbb{N}\\ b_n:= \frac{1}{L} \int_{-L}^{ L} f(x) \sin(\frac{n\pi}{L} \cdot x) \, dx, \quad \forall n\in \mathbb{N} \end{cases}\]

E agora a tradução complexa:
Afirmação 3 (Forma Exponencial da Série de Fourier): A Série de Fourier de $f(t)$
\[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} [a_n \cdot \cos(\frac{n \pi}{L} \, t) + b_n\cdot \sin(\frac{n \pi}{L} t )\]
pode ser escrita como
\[ \sum_{n= -\infty}^{+\infty} C_n \cdot e^{i\, \frac{n \pi}{L} \, t},\quad n \in \mathbb{Z} \]
onde $ \mathbb{Z}$ são os números Inteiros e definimos
\[ \begin{cases} C_0 := \frac{a_0}{2}\\ C_n := \frac{a_n - i\, b_n}{2},\quad n \in \mathbb{N}\\ C_{- n} := \frac{a_n + i\, b_n}{2},\quad n \in \mathbb{N}\end{cases}\]
Além disso,
\[C_n = \frac{1}{2 L} \, \int_{-L}^{L} f(t) \, e^{- \,i \frac{n \pi}{L}\, t},\quad \forall n\in \mathbb{Z}\]


Na Seção Transformadas de Fourier e Diagramas de Magnitude e Fases do Espectro veremos a integral que generaliza a forma exponencial das Séries de Fourier.




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