Formas trigonométrica e harmônica das Séries de Fourier

Forma Harmônica das Séries de Fourier


As Séries de Fourier são um modo surpreendente de descrever uma função periódica complicada como superposição de senos e cossenos com frequências alteradas.
Foram apresentadas na Seção Introdução às Séries de Fourier do Curso Equações Diferenciais em mais variáveis e Séries.

Observação: neste Curso vamos usar sempre a variável independente $t$, pois trataremos de funções/sinais que dependem do tempo.

Lembramos:
Afirmação 1 (Teorema de Fourier) : Seja $y= f(t)$ função $2 L$-periódica, contínua por partes e derivável por partes. Então:\[\frac{f(t+) + f(t-)}{2} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} [a_n \cdot \cos(\frac{n \pi}{L} \, t) + b_n\cdot \sin(\frac{n \pi}{L} t )]\]onde $f(t+)$ e $f(t-)$ são limites laterais em $t$ e
\[\begin{cases}\,\frac{a_0}{2} := \frac{1}{2 L} \int_{-L}^{L} f(t) \, dt \\ a_n := \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi}{L} \cdot x) \, dx,\quad \forall n\in \mathbb{N}\\ b_n:= \frac{1}{L} \int_{-L}^{ L} f(x) \sin(\frac{n\pi}{L} \cdot x) \, dx, \quad \forall n\in \mathbb{N} \end{cases}\]

Vamos chamar essa forma inicial das séries de Fourier de forma trigonométrica.

Nesta Seção o objetivo é explicar como expressar de um modo diferente as séries de Fourier:
Afirmação 2 (Forma Harmônica da Série de Fourier) A série
\[\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} [a_n \cdot \cos(\frac{n \pi}{L} \, t) + b_n\cdot \sin(\frac{n \pi}{L} t )]\]
pode também ser expressa como
\[ A_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} A_n \cdot \cos(\frac{n \pi}{L} \, t - \theta_n)\]
onde $A_0 = \frac{a_0}{2} $ e $\forall n \in \mathbb{N}$:
\[A_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2}\]
Se $A_n >0$, o ângulo $ \theta_n \in [0, 2 \pi)$ fica determinado por:
\[\sin(\theta_n) = \frac{b_n}{A_n} \quad \mbox{e}\quad \cos(\theta_n) = \frac{a_n}{A_n}\]


Nesta apresentação aparecem as amplitudes $A_n$ e as fases $\theta_n$. As amplitudes expandem/contraem gráficos, enquanto as fases produzem deslocamentos horizontais dos gráficos.

A Interação a seguir mostra deslocamentos horizontais de gráficos e pode ser útil para entender o significado das fases:

Na Seção Transformadas de Fourier e Diagramas de Espectros de Magnitudes e Fases daremos uma integral que generaliza a forma harmônica das séries de Fourier.




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