Ou uma coisa ou outra

Funções limitadas ou no Tempo ou na Frequência


Na Seção Teorema Cardinal de Interpolação de Nyquist-Shannon estudamos um importante fato, que se aplica a funções com espectro de frequências limitado, ou seja, para as quais a Transformada de Fourier verifica\[ F(w) = \mathcal{F}(f(t)) = 0, \quad \mbox{se}\,\, |w| \geq \Omega \]Exemplos usados naquela Seção foram as funções \[f(t)= \mbox{sinc}(t), \quad f(t)= \mbox{sinc}^2(t),\quad f(t)= \frac{J_1(t)}{t},\] que têm em comum o fato que terem valores diferentes de zero em toda a reta $\mathbb{R}$.
Dizemos que esses exemplos de funções têm suporte ilimitado. Quando uma função se anula identicamente fora de algum intervalo limitado, dizemos que tem suporte limitado.
Por exemplo, é continua e tem suporte limitado a função $f(t)$ definida por partes
\[\begin{cases} f(t) = 0, \quad\quad \mbox{se} \, |t| > 1 \\ f(t) = 1 - t^2, \quad \mbox{se} \, |t| \leq 1 \end{cases}\]
Questão: Será que existem funções contínuas $f(t)$ (não identicamente nulas) que tenham suporte limitado e também espectro de frequência limitado ? Em outras palavras, para as quais valham simultaneamente\[ \begin{cases} F(w) = 0, \quad \mbox{se}\, |w| \geq \Omega \\ \mbox{e} \\ f(t) = 0, \quad \mbox{se}\, |t| \geq T \end{cases} \]

Veremos nesta Seção que a resposta é negativa: ou seja,
Afirmação 1: Ou uma função contínua (não identicamente nula) tem espectro de frequência limitado ou tem suporte limitado no tempo (ou uma coisa ou outra)

A prova que daremos da Afirmação 1 é simples, mas tem uma etapa crucial, que é a troca entre integral de série infinita e série infinita de integrais:
\[\int \sum_{n=0}^{+\infty} = \sum_{n=0}^{+\infty} \int \]

Precisamos destacar que essa propriedade nem sempre é válida, pois depende da chamada convergência uniforme de funções, que felizmente está garantida neste nosso contexto, em que usamos funções $f(t)$ contínuas e com suporte limitado.



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