Principais Transformadas de Fourier justificadas e calculadas neste Curso

Transformadas de Fourier justificadas ou calculadas


A seguir apresentamos uma lista das principais Transformadas de Fourier estudadas neste Curso.
Nos parágrafos seguintes indicaremos ao menos uma Seção (ou Exercício) em que foram justificadas e/ou implementadas em Interações.
Algumas observações:
Pense nessa lista como "átomos" e use as Interações das Seções correspondentes para calcular Transformadas de suas combinações "moleculares".

Na Tabela a seguir, o termo "consulte" na coluna de Observações indica que há condições e hipóteses para aplicação correta da propriedade listada, que devem ser consultadas na Seção correspondente.

Ao comparar com Tabelas de outras referências, lembre que definição que adotamos para a Transformada de Fourier neste Curso foi
\[ \mathcal{F}( f(t) ) := \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot e^{- i\, w \, t}\, dt,\quad i = \sqrt{-1}\]
As únicas exceções são a Seção Transformada Discreta de Fourier e Transformada Rápida (FFT) e a Seção Transformada radial de Fourier-Bessel (Hankel) e os discos de Airy, onde adotamos um fator $2\pi$ na exponencial $e^{- i \, 2 \pi \, w t}$.

\begin{array}{|cccc|}\hline \mbox{n.} & {\scriptsize f(t) } & {\scriptsize\mbox{Transformada}} & {\scriptsize\mbox{Observações}}
\\ \hline 1. & {\scriptsize \Pi(t)} & {\scriptsize 2\, \mbox{sinc}(w) } & {\scriptsize \Pi(t)} \,\, {\scriptsize \mbox{pulso quadrado}}
\\ \hline 2. &{\scriptsize \Lambda(t)}& {\scriptsize 4\, \mbox{sinc}^2(w) } &{\scriptsize \Lambda(t) } \,\,{\scriptsize\mbox{pulso triangular}} \\\hline 3. & {\scriptsize \cos(t)\cdot \Pi(\frac{t}{(\frac{\pi}{2})} ) } &{\scriptsize \frac{\sin(\frac{\pi}{2} (w+1))}{w+1} + \frac{\sin(\frac{\pi}{2} (w-1))}{w-1} }& \\\hline 4. & {\scriptsize \sin(t)\cdot \Pi(\frac{t}{(\frac{\pi}{2})} ) } & {\scriptsize i\cdot [ \frac{\sin(\frac{\pi}{2} (w+1))}{w+1} - \frac{\sin(\frac{\pi}{2} (w-1))}{w-1} ]}& {\scriptsize i = \sqrt{-1}} \\\hline 5. & e^{-t}\cdot u(t) & \frac{1}{1+ i\, w} & {\scriptsize u(t)} \,{\scriptsize\mbox{degrau unitário}} \\ \hline 6. & e^{-| t |} & \frac{2}{1+ w^2} & \\ \hline 7. & e^{- t^2} &\sqrt{\pi}\cdot e^{- \frac{w^2}{4}} & \\ \hline 8. & f( t - a ) & e^{- i \, a\, w} \cdot {\scriptsize F(w)} & {\scriptsize F(w) = \mathcal{F}( f(t) )},\, a \in \mathbb{R}\\\hline 9. & f( - \, t ) & {\scriptsize F(-\, w)} & \\\hline 10. & f( a \, t ) & {\scriptsize \frac{1}{| a |}\cdot F(\frac{w}{a})} & {\scriptsize a \neq 0}\\\hline 11. & e^{ i\, a t} \cdot f(t) & {\scriptsize F( w - a )} & \\\hline 12. & f^{\prime}(t) & {\scriptsize i w \cdot F(w )} & {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\\hline 13. & f^{\prime\prime}(t) &{\scriptsize - w^2 \cdot F(w ) }& {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\ \hline 14. & {\scriptsize \int_{-\infty}^t f(u)\, du } & {\scriptsize \frac{F(w)}{i w} } & {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\\hline 15. & t\cdot f(t) &{\scriptsize i\cdot \frac{d F(w)}{d w} }& {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\\hline 16. & t^2\cdot f(t) & {\scriptsize - \frac{d^2 F(w )}{d w^2}} & {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\\hline17. & f(t) * g(t) & {\scriptsize F(w) \cdot G(w) }& {\scriptsize G(w) = \mathcal{F}( g(t))}, \, * \, {\scriptsize\mbox{convolução}} \\\hline 18. & f(t) \cdot g(t) & {\scriptsize \frac{1}{2\pi}\cdot F(w) * G(w)} & * \, {\scriptsize\mbox{convolução}} \\\hline 19. & {\scriptsize F(t)} & {\scriptsize 2\pi \cdot f(- \, w) } &\, {\scriptsize \mbox{onde} \, F(w) = \mathcal{F}( f(t)) } \\\hline 20. & {\scriptsize \mbox{sinc}(t)} & {\scriptsize \pi \cdot \Pi(w) } &
\\\hline 21 . & {\scriptsize e^{-|t|} \cdot \mbox{sinc}(t)} & {\scriptsize \arctan(\frac{2}{w^2})} &\\\hline 22. &{\scriptsize \frac{1}{1 - i\, t} } & {\scriptsize 2\pi \, e^{-w}\cdot u(w) }& {\scriptsize u(w)} \,\,{\scriptsize\mbox{degrau unitário}} \\\hline 23. &{\scriptsize \frac{1}{(1 - i\, t)^2} }&{\scriptsize 2\pi \, e^{-w}\cdot w\cdot u(w) } & \\ \hline 24. & {\scriptsize e^{-\frac{t^2}{2}} \cdot H_{2n}(t) } & {\scriptsize - \sqrt{2\pi} e^{ -\frac{w^2}{2} } H_{2n}(w) } & {\scriptsize H_{2n} } \,\, {\scriptsize\mbox{Hermite par}} \\\hline 25. & {\scriptsize e^{-\frac{t^2}{2}} \cdot H_{2n+1}(t)} & {\scriptsize - i\, \sqrt{2\pi} e^{ -\frac{w^2}{2} } H_{2n+1}(w) } & {\scriptsize H_{2n+1} } \,{\scriptsize\mbox{Hermite ímpar}} \\\hline 26. & {\scriptsize f(t) \equiv 1 } & {\scriptsize 2 \pi\, \delta(w) }& {\scriptsize \delta(w)} \,{\scriptsize \mbox{delta de Dirac} }
\\\hline 27. & {\scriptsize e^{i \,t_0 t } } & {\scriptsize 2\pi \cdot \delta(w-t_0) } & {\scriptsize t_0 \in \mathbb{R} } \\\hline 28. & {\scriptsize \delta(t) } & {\scriptsize 1 } & \\\hline 29. & {\scriptsize \delta(t - t_0) } & {\scriptsize e^{- i \, t_0 w}} & {\scriptsize t_0 \in \mathbb{R}} \\\hline 30. & u(t) & \pi\, \delta(w) + \frac{1}{i\, w} & {\scriptsize u(t)} \,{\scriptsize\mbox{Degrau unitário}}\\\hline 31. & | t |& {\scriptsize \frac{-2}{w^2} } & \\\hline 32. &{\scriptsize \mbox{sign}(t)} &{\scriptsize \frac{2}{i w} } & {\scriptsize \mbox{sign}(t) } \, {\scriptsize\mbox{função sinal}} \\\hline 33. & \mbox{erf}(t) & \frac{2}{i w} \cdot e^{-\frac{w^2}{4}}& \, \mbox{erf}(t) \, {\scriptsize \mbox{função erro}} \\\hline 34. & {\scriptsize \mbox{Si}(t)} & {\scriptsize \frac{\pi}{i w} \cdot \Pi(w)}& \, {\scriptsize \mbox{Si}(t)} \, {\scriptsize \mbox{seno integral}} \\\hline 35. &{\scriptsize \frac{1}{\sqrt{| t |} }}&{\scriptsize \frac{\sqrt{2 \pi} }{\sqrt{| w |} } }&
\\\hline 36. &{\scriptsize \frac{\mbox{sign}(t)}{\sqrt{| t |} }}&{\scriptsize -i\, \sqrt{2 \pi} \frac{\mbox{sign}(t)}{\sqrt{| w |} } }&
\\\hline 37. &{\scriptsize \frac{u( - t)}{\sqrt{| t |} } }&{\scriptsize \frac{ \sqrt{2 \pi} }{ \sqrt{- 2 i w } } }& {\scriptsize u(t)} \, {\scriptsize \mbox{degrau unitário} }
\\\hline 38. &{\scriptsize J_{2n}(t) }&{\scriptsize 2\cdot (-1)^n \frac{T_{2n}(w)\cdot \Pi(w)}{\sqrt{1-w^2} } }& {\scriptsize J_{2n}, T_{2n} } \,{\scriptsize\mbox{Bessel, Tchebyshev} }
\\\hline 39. &{\scriptsize J_{2n+1}(t) }&{\scriptsize 2\,i\cdot (-1)^{n+1} \frac{T_{2n+1}(w)\cdot \Pi(w)}{\sqrt{1-w^2}} }& {\scriptsize J_{2n+1}, T_{2n+1} } \, {\scriptsize \mbox{Bessel, Tchebyshev}}
\\\hline 40. &{\scriptsize \frac{J_{1}(t)}{t} }&{\scriptsize 2 \cdot \sqrt{1-w^2}\cdot \Pi(w)} & {\scriptsize \Pi(w)} \,\, {\scriptsize \mbox{pulso quadrado}}
\\ \hline 41. & {\scriptsize \cos(a\,t) }& {\scriptsize \pi \cdot [\delta(w+a) + \delta(w-a) ] }&
\\ \hline 42. & {\scriptsize \sin(a\,t) } & {\scriptsize i \pi \cdot [ \delta(w+a) - \delta(w-a) ] } &
\\ \hline 43. &{\scriptsize f(t) \cdot \cos(a\, t)} & {\scriptsize \frac{F(w+a) +F(w-a)}{2}} & {\scriptsize F(w) = \mathcal{F}( f(t) ) }
\\ \hline 44. & {\scriptsize f(t) \cdot \sin(a\, t) }& {\scriptsize i \cdot [ \frac{F(w+a) - F(w-a)}{2} ] } &
\\ \hline 45. & {\scriptsize \sum_{-\infty}^{+\infty} \delta(t - n\, T) }& {\scriptsize w_0 \cdot \sum_{-\infty}^{+\infty} \delta(w - n\, w_0) } & {\scriptsize w_0 = \frac{2\pi}{T} }
\\\hline \end{array}





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