Séries de Fourier e Síntese Aditiva de timbres

Sons de Ondas e Séries de Fourier




O que distingue o timbre da flauta do timbre do clarinete, quando produzem a mesma nota musical ?

Na Seção Introdução às Séries de Fourier do Curso Equações Diferenciais em mais variáveis e Séries vimos que funções periódicas variadas podem ser aproximadas por superposições de funções senoidais.
O objetivo desta Seção é ouvir os sons correspondentes à superposições de funções senoidais e começar a desvendar os diferentes timbres. Os sons serão gerados em Interações.

Lembramos da Seção citada o importante fato:
Afirmação 1: (Aproximações de Fourier) Funções periódicas $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de período $2 L$ e suaves por partes podem ser cada vez melhor aproximadas por superposições de funções senoidais do tipo \[M_f + \sum_{n=1}^{N} (a_n \, \cos( n \,\frac{\pi}{L}\, t ) + b_n \sin( n\, \frac{\pi}{L} \, t) ),\]à medida que aumenta o número $N$ de parcelas, desde que os números $M_f$, $a_n$ e $b_n$ sejam calculados como
\[\begin{cases} M_f = \frac{ \int_{-L}^{ L} f(t)\, dt }{ 2 L } \\ \\ a_n = \frac{ \int_{-L}^{ L} f(t) \cos( n \frac{\pi}{L}\,t) \, dt }{L} \\\\ b_n = \frac{\int_{-L}^{ L} f(t) \sin( n \frac{\pi}{L}\,t) \, dt }{L}\end{cases}\]

Na Seção Transformadas de Laplace de funções periódicas do Curso Transformada de Laplace e Aplicações vimos que há funções periódicas simples, mas que são importantes na Engenharia e na síntese eletrônica de sons, por exemplo, as chamadas ondas quadradas.
A Interação a seguir mostra parte do gráfico de uma onda quadrada:


Veremos nesta Seção que o timbre característico do clarinete pode ser considerado uma aproximação de Fourier para a onda quadrada. Ao final da Seção abordaremos as chamadas frequências moduladas, usadas pelos sintetizadores eletrônicos para produzir timbres semelhantes aos dos instrumentos musicais.





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