Transformadas de Fourier das importantes funções de Bessel

Transformadas de Fourier das Funções de Bessel e Polinômios de Chebyshev


As funções de Bessel $J_p(t)$ são fundamentais na Física-Matemática dos fenômenos vibratórios, cf. Seção Equação da onda bidimensional e modos de vibração com simetria radial para tambores circulares do Curso Equações Diferenciais em mais variáveis e Séries.
E também aparecem na descrição analítica do movimento planetário, cf. Seção A equação de Kepler e sua solução por Séries de Fourier do Curso Complementos às Equações Diferenciais.
Como veremos nesta Seção:
Todas as funções de Bessel $J_p(t)$, $p = 0 , 1 , 2, \ldots$ têm espectros de frequências limitados; o que as torna exemplos para a Seção Teorema Cardinal de Interpolação de Nyquist-Shannon.

O objetivo desta Seção é justificar a seguinte afirmação:
Afirmação 1: Sejam $J_p(t)$ as funções de Bessel de primeira espécie, $p = 0, 1 , 2 , \ldots$. Então suas Transformadas de Fourier dependem da paridade de $p$, da seguinte forma
\[ \begin{cases} \mathcal{F}( J_{2k}(t) ) = 2\, \frac{(-1)^k}{\sqrt{1-w^2}} \cdot T_{2k}(w) \cdot \Pi(w),\quad \mbox{se}\, p = 2 k\\ \mathcal{F}( J_{2k+1}(t) )= 2\,i\, \frac{ {(-1)}^{k+1} }{\sqrt{1-w^2}} \cdot T_{2k +1}(w) \cdot \Pi(w) ,\quad \mbox{se}\, p = 2 k + 1 \end{cases} \]
onde $ i = \sqrt{-1} $, onde $ T_{p}(w)$ é o $p$-ésimo polinômio de Tchebyshev e onde $\Pi(w)$ é a função pulso quadrado.

No próximo parágrafo apresentaremos os polinômios de Tchebyshev e, depois, passaremos à justificação da Afirmação 1 e a exemplificá-la em Interações.




Cursos

Tópicos