Admitindo algumas Funções a valores Complexos

Transformadas de Fourier de algumas Funções Racionais Complexas



Até agora neste Curso temos nos concentrado em estudar Transformadas de Fourier de funções a valores Reais.


As exceções foram as Transformadas estudadas no final da Seção Efeito de Translações, Reflexões, Contrações e Dilatações na escala temporal:
Para $f(t) \in \mathbb{R}$ e $F(w) = \mathcal{F}( f(t))$, vale
\[\mathcal{F}( e^{a i\, t} \cdot f(t) ) = F(w - a),\quad a \in \mathbb{R},\, i = \sqrt{-1}\]

Nesta Seção vamos admitir funções racionais complexas, como por exemplo
\[f(t) = \frac{1}{1 - i\, t}\]

A Interação a seguir plota os gráficos das partes real e imaginária de uma função desse tipo:

Nesta Seção vamos justificar as Transformadas de Fourier de funções racionais complexas do tipo\[f(t) = \frac{1}{(a - i\, (b \, t + c))^n},\quad\mbox{onde}\, t, a, b , c \in \mathbb{R} \](onde $a\neq 0$, $b \neq 0$).

Ao invés de buscar uma fórmula geral para todo $n\in \mathbb{N}$, preferimos fazer em detalhes os casos
\[n= 1, 2 \]
(deixando $n=3$ para exercícios do Questionário desta Seção).
Daremos duas justificações diferentes: uma que usa fatos da Seção Transformadas de Fourier de produto de convolução e produto usual e outra que usa fatos da Seção Transformadas de Fourier e os conceitos de Derivadas e Integrais.
Esperamos obter os mesmos resultados !

Observamos também que os importantes Teoremas de Parseval-Railegh e Princípio de Incerteza (Seções mais avançadas) admitem versões para funções a valores complexos, em que a expressão $f^2(t)$ deve ser trocada por $|f(t)|^2$.




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